📐 BÀI HỌC TOÁN 12: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương V)
1. Vectơ pháp tuyến và Tích có hướng
Vectơ \(\vec{n} \neq \vec{0}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) nếu giá của \(\vec{n}\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\).
Nếu mặt phẳng \((P)\) chứa hai vectơ không cùng phương \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) và \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\) (hoặc có giá song song với \((P)\)), thì tích có hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một vectơ pháp tuyến của \((P)\):
\[ \vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & a_2 \end{vmatrix} \right) \] \[ = (a_2 b_3 - a_3 b_2; \; a_3 b_1 - a_1 b_3; \; a_1 b_2 - a_2 b_1) \]2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) (\(A^2 + B^2 + C^2 \neq 0\)) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]Khai triển ra ta được phương trình tổng quát dạng:
\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]trong đó \(D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)\).
3. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Nếu mặt phẳng \((P)\) cắt ba trục tọa độ \(Ox, Oy, Oz\) lần lượt tại các điểm \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\), \(C(0; 0; c)\) với \(a \cdot b \cdot c \neq 0\), thì phương trình của mặt phẳng \((P)\) là:
\[ \displaystyle\frac{x}{a} + \displaystyle\frac{y}{b} + \displaystyle\frac{z}{c} = 1 \]4. Điều kiện song song và vuông góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng \((P_1): A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0\) có VPT \(\vec{n_1} = (A_1; B_1; C_1)\)
và \((P_2): A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0\) có VPT \(\vec{n_2} = (A_2; B_2; C_2)\).
\((P_1) \parallel (P_2) \Leftrightarrow \vec{n_1}\) cùng phương với \(\vec{n_2}\) và điểm \(M \in (P_1)\) thì \(M \notin (P_2)\).
\[ \displaystyle\frac{A_1}{A_2} = \displaystyle\frac{B_1}{B_2} = \displaystyle\frac{C_1}{C_2} \neq \displaystyle\frac{D_1}{D_2} \quad (\text{với các mẫu số khác 0}) \]5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) đến mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) được tính bởi công thức:
\[ d(M_0, (P)) = \displaystyle\frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]6. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Trong không gian \(Oxyz\), lập phương trình mặt phẳng \((ABC)\) đi qua ba điểm \(A(1; 0; -2)\), \(B(2; 1; 1)\), \(C(0; 2; 2)\).
Ta có các vectơ nằm trên mặt phẳng:
\[ \vec{AB} = (2 - 1; 1 - 0; 1 - (-2)) = (1; 1; 3) \] \[ \vec{AC} = (0 - 1; 2 - 0; 2 - (-2)) = (-1; 2; 4) \]Mặt phẳng \((ABC)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]\):
\[ \vec{n} = (1 \cdot 4 - 3 \cdot 2; \; 3 \cdot (-1) - 1 \cdot 4; \; 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = (-2; -7; 3) \]Chọn \(\vec{n} = (2; 7; -3)\) làm VPT. Mặt phẳng đi qua \(A(1; 0; -2)\) nên có phương trình:
\[ 2(x - 1) + 7(y - 0) - 3(z + 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + 7y - 3z - 8 = 0 \]Lập phương trình mặt phẳng trung trực \((P)\) của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(2; -1; 4)\) và \(B(0; 3; 2)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Tọa độ của \(I\) là:
\[ I\left(\displaystyle\frac{2+0}{2}; \displaystyle\frac{-1+3}{2}; \displaystyle\frac{4+2}{2}\right) = (1; 1; 3) \]Mặt phẳng trung trực \((P)\) đi qua \(I(1; 1; 3)\) và nhận \(\vec{AB} = (-2; 4; -2)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta chọn \(\vec{n} = -\displaystyle\frac{1}{2}\vec{AB} = (1; -2; 1)\) làm VPT.
Phương trình mặt phẳng \((P)\) là:
\[ 1(x - 1) - 2(y - 1) + 1(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + z - 2 = 0 \]Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(3; -2; 1)\) và mặt phẳng \((P): 2x - y + 2z + 1 = 0\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\).
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\[ d(A, (P)) = \displaystyle\frac{|2(3) - 1(-2) + 2(1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \displaystyle\frac{|6 + 2 + 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \displaystyle\frac{11}{\sqrt{9}} = \displaystyle\frac{11}{3} \]7. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Dạng bài / Khái niệm | Công thức / Phương trình | Đặc điểm ghi nhớ |
|---|---|---|
| PTPT Tổng quát | \(Ax + By + Cz + D = 0\) | VPT là \(\vec{n} = (A; B; C)\) |
| Qua \(M_0\) có VPT \(\vec{n}\) | \(A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\) | Thay tọa độ điểm và VPT |
| Phương trình đoạn chắn | \(\displaystyle\frac{x}{a} + \displaystyle\frac{y}{b} + \displaystyle\frac{z}{c} = 1\) | Cắt 3 trục tại \((a;0;0), (0;b;0), (0;0;c)\) |
| Hai MP vuông góc | \(A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0\) | Tích vô hướng 2 VPT bằng 0 |
| Khoảng cách từ điểm | \(d(M_0, (P)) = \displaystyle\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\) | Thay tọa độ điểm vào vế trái MP |
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) trong các trường hợp sau:
a) Đi qua điểm \(M(1; -2; 3)\) và song song với mặt phẳng \((Q): 3x -y + 2z - 5 = 0\).
b) Cắt ba trục tọa độ lần lượt tại \(A(-2; 0; 0)\), \(B(0; 4; 0)\), \(C(0; 0; 3)\).
Bài 2: Cho điểm \(A(1; 2; 3)\) và mặt phẳng \((P): x + 2y - 2z + 8 = 0\).
a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((P)\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) song song với \((P)\) và cách \(A\) một khoảng bằng \(4\).
Bài 3 (Thực tế): Trong một xưởng sản xuất, người ta gắn một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) để lập trình robot. Mặt sàn nhà xưởng trùng với mặt phẳng \((Oxy)\). Một cảm biến đặt tại điểm \(S(2; 3; 5)\) cần phát tín hiệu vuông góc tới một tấm kim loại nằm trên mặt phẳng đi qua ba điểm \(P(4; 0; 0)\), \(Q(0; 3; 0)\), \(R(0; 0; 6)\). Hãy tính khoảng cách từ cảm biến \(S\) đến tấm kim loại.