BÀI 14. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương
- Vectơ \(\vec{n}\ne\vec{0}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) nếu giá của vectơ \(\vec{n}\) vuông góc với \((\alpha)\).
- Trong không gian Oxyz, hai vectơ \(\vec{u},\vec{v}\) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
- Nếu \(\vec{u},\vec{v}\) là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì tích có hướng \(\left[\vec{u},\vec{v}\right]\) là một vectơ pháp tuyến của (P).
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Dạng: \(Ax+By+Cz+D=0\) với A, B, C không đồng thời bằng 0.
3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=\left(A;B;C\right)\) có phương trình là: \(A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0\).
4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
- Hai mặt phẳng \((\alpha):Ax+By+Cz+D=0, (\beta):A'x+B'y+C'z+D=0\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\vec{n}\bot\vec{n'}\).
5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau
- Hai mặt phẳng \((\alpha):Ax+By+Cz+D=0, (\beta):A'x+B'y+C'z+D=0\) song song với nhau khi và chỉ khi \(\begin{cases}\vec{n'}=k\vec{n}\\D'=kD\end{cases}\).
6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- Khoảng cách từ điểm \(M\left(x_0;y_0;z_0\right)\) đến mặt phẳng \((P):Ax+By+Cz+D=0\) là: \(d\left(M,(P)\right)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\)
