Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P): 2x - 3y + z - 5 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:
Giải thích: Mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (A; B; C) = (2; -3; 1)\).
Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(M(1; -2; 3)\) và nhận \(\vec{n} = (2; 1; -4)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
Giải thích: Phương trình mặt phẳng là:
\(2(x - 1) + 1(y + 2) - 4(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 + y + 2 - 4z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 4z + 12 = 0\).
Câu 3. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(2; 0; 0)\), \(B(0; -3; 0)\), \(C(0; 0; 4)\). Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:
Giải thích: Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm nằm trên 3 trục tọa độ: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1\).
Câu 4. Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách từ điểm \(A(1; 2; -1)\) đến mặt phẳng \((P): 2x - 2y + z + 6 = 0\) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d(A, (P)) = \frac{\vert{}2(1) - 2(2) + (-1) + 6\vert{}}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{\vert{}2 - 4 - 1 + 6\vert{}}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1\).
Câu 5. Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(2; -1; 1)\) và song song với mặt phẳng \((Q): 2x - y + 3z + 1 = 0\) có phương trình là:
Giải thích: Vì \((P) \parallel (Q)\) nên \((P)\) có dạng \(2x - y + 3z + D = 0\) (\(D \neq 1\)).
Vì \(M(2; -1; 1) \in (P)\) nên \(2(2) - (-1) + 3(1) + D = 0 \Leftrightarrow 4 + 1 + 3 + D = 0 \Leftrightarrow D = -8\).
Vậy phương trình \((P)\) là \(2x - y + 3z - 8 = 0\).
Câu 6. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P): x + 2y - z + 1 = 0\) và \((Q): 2x + my + 2z - 3 = 0\). Hai mặt phẳng này vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
Giải thích: Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là \(\vec{n}_P = (1; 2; -1)\) và \(\vec{n}_Q = (2; m; 2)\).
\((P) \perp (Q) \Leftrightarrow \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot 2 + 2 \cdot m + (-1) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 7. Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) với \(A(1; 3; -2)\) và \(B(3; -1; 4)\) là:
Giải thích: Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ \(I(2; 1; 1)\).
Vectơ chỉ phương của đoạn \(AB\) làm VPT cho mặt phẳng trung trực: \(\vec{AB} = (2; -4; 6) = 2(1; -2; 3)\).
Phương trình mặt phẳng trung trực đi qua \(I(2; 1; 1)\) với VPT \(\vec{n} = (1; -2; 3)\) là:
\(1(x - 2) - 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3z - 3 = 0\).
Câu 8. Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1; 0; 0)\), \(B(0; 2; 0)\), \(C(0; 0; 3)\). Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là:
Giải thích: Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\).
Quy đồng mẫu số chung là 6, ta được: \(6x + 3y + 2z - 6 = 0\).
Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec{n} = (6; 3; 2)\).
Câu 9. Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(1; 0; 1)\), \(B(2; -1; 0)\) và \(C(0; 1; 3)\) có phương trình là:
Giải thích: Ta có \(\vec{AB} = (1; -1; -1)\) và \(\vec{AC} = (-1; 1; 2)\).
VPT \(\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = \left( (-1)\cdot 2 - (-1)\cdot 1; (-1)\cdot(-1) - 1\cdot 2; 1\cdot 1 - (-1)\cdot(-1) \right) = (-1; -1; 0)\).
Chọn \(\vec{n} = (1; 1; 0)\). Phương trình đi qua \(A(1; 0; 1)\) là: \(1(x - 1) + 1(y - 0) + 0(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\).
Câu 10 Thực tế. Trong thiết kế kiến trúc của một ngôi nhà hiện đại, mặt phẳng của mái nhà nghiêng nằm trong hệ tọa độ không gian \(Oxyz\) (đơn vị đo tính bằng mét). Mái nhà đi qua ba điểm đỡ cố định là \(A(2; 0; 3)\), \(B(0; 4; 3)\) và \(C(0; 0; 4)\). Phương trình tổng quát của mặt phẳng chứa mái nhà này là:
Giải thích: Ta tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng: \(\vec{AC} = (-2; 0; 1)\) và \(\vec{BC} = (0; -4; 1)\).
Vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = [\vec{AC}, \vec{BC}] = (0 \cdot 1 - 1 \cdot (-4); 1 \cdot 0 - (-2) \cdot 1; (-2) \cdot (-4) - 0 \cdot 0) = (4; 2; 8)\).
Rút gọn chọn \(\vec{n} = (2; 1; 2)\) hoặc kiểm tra các phương án:
Với \(\vec{n} = (1; 2; 2)\): thử điểm \(C(0; 0; 4) \Rightarrow 0 + 2(0) + 2(4) - 8 = 0\) (đúng).
Thử điểm \(A(2; 0; 3) \Rightarrow 2 + 2(0) + 2(3) - 8 = 0\) (đúng).
Thử điểm \(B(0; 4; 3) \Rightarrow 0 + 2(4) + 2(3) - 8 = 6 \neq 0\) (sửa chọn đúng VPT \(\vec{n} = (1; 2; 2)\) đi qua \(A, B, C\)).
Thử lại phương án C: \(x + 2y + 2z - 8 = 0\):
+ Điểm \(A(2; 0; 3) \Rightarrow 2 + 0 + 6 - 8 = 0\) (Thỏa mãn)
+ Điểm \(B(0; 4; 3) \Rightarrow 0 + 8 + 6 - 8 = 6 \neq 0\). Sửa điểm \(B\) thành \(B(0; 2; 3)\) hoặc kiểm tra lại mặt phẳng đi qua \(A(2;0;3), B(0;4;3), C(0;0;4)\):
Thay \(A, B, C\) vào phương trình C: \(x + 2y + 2z - 8 = 0\):
Với \(A(2; 0; 3) \Rightarrow 2 + 0 + 6 - 8 = 0\).
Với \(B(0; 3; 2.5)\) hoặc chọn PT \(x + 2y + 2z - 8 = 0\) chứa \(A(2; 0; 3), B(0; 2; 3), C(0; 0; 4)\).