📐 BÀI HỌC TOÁN 12: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương IV)
1. Tính diện tích hình phẳng
Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \([a; b]\), trục hoành \(Ox\) (\(y = 0\)) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) là:
\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \]Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) liên tục trên \([a; b]\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) là:
\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \]2. Tính thể tích của vật thể bất kỳ
Cắt một vật thể \(\mathcal{B}\) bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại \(x = a\) và \(x = b\) (\(a < b\)).
Giả sử mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) (\(a \le x \le b\)) cắt vật thể \(\mathcal{B}\) theo một thiết diện có diện tích là \(S(x)\). Nếu \(S(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\) thì thể tích \(V\) của vật thể \(\mathcal{B}\) được tính bởi:
\[ V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx \]3. Tính thể tích khối tròn xoay
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\), trục hoành \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\). Khi quay hình phẳng này xung quanh trục \(Ox\), ta được một khối tròn xoay có thể tích \(V\) là:
\[ V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx \]Nếu hình phẳng giới hạn bởi \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) (với \(f(x) \ge g(x) \ge 0\)) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quay quanh trục \(Ox\):
\[ V = \pi \int_{a}^{b} \left| f^2(x) - g^2(x) \right| dx \]4. Phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối trong Tích phân
Để tính tích phân dạng \(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx\) mà không dùng máy tính cầm tay, ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm \(f(x) - g(x) = 0\) trên đoạn \([a; b]\) để tìm các nghiệm \(x_1, x_2, \dots, x_k \in (a; b)\) (sắp xếp \(a < x_1 < x_2 < \dots < x_k < b\)).
- Bước 2: Chèn cận để tách tích phân ban đầu thành tổng các tích phân trên từng khoảng nhỏ: \[ S = \int_{a}^{x_1} |f(x) - g(x)| dx + \int_{x_1}^{x_2} |f(x) - g(x)| dx + \dots + \int_{x_k}^{b} |f(x) - g(x)| dx \]
- Bước 3: Vì trên mỗi khoảng nhỏ biểu thức \(f(x) - g(x)\) không đổi dấu, ta đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân: \[ S = \left| \int_{a}^{x_1} (f(x) - g(x)) dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx \right| + \dots + \left| \int_{x_k}^{b} (f(x) - g(x)) dx \right| \]
5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^2 - 2x\) và đường thẳng \(y = x\).
Phương trình hoành độ giao điểm:
\[ x^2 - 2x = x \Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 0 \\ x = 3 \end{bmatrix} \]Do đó hình phẳng được giới hạn trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = 3\).
Diện tích hình phẳng là:
\[ S = \int_{0}^{3} |(x^2 - 2x) - x| \, dx = \int_{0}^{3} |x^2 - 3x| \, dx \]Vì trên đoạn \([0; 3]\), ta có \(x^2 - 3x \le 0\), nên \(|x^2 - 3x| = -(x^2 - 3x) = 3x - x^2\):
\[ S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx = \left. \left( \displaystyle\frac{3x^2}{2} - \displaystyle\frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{3} = \left( \displaystyle\frac{27}{2} - 9 \right) - 0 = \displaystyle\frac{9}{2} = 4,5 \]Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = \sqrt{x} \cdot e^x\), trục hoành \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = 1, x = 2\) xung quanh trục \(Ox\).
Thể tích khối tròn xoay là:
\[ V = \pi \int_{1}^{2} [f(x)]^2 \, dx = \pi \int_{1}^{2} \left(\sqrt{x} \cdot e^x\right)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} x \cdot e^{2x} \, dx \]Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \(u = x, dv = e^{2x}dx \Rightarrow du = dx, v = \displaystyle\frac{1}{2}e^{2x}\):
\[ \int_{1}^{2} x e^{2x} dx = \left. \displaystyle\frac{x}{2} e^{2x} \right|_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \displaystyle\frac{1}{2} e^{2x} dx = \left( e^4 - \displaystyle\frac{1}{2}e^2 \right) - \left. \displaystyle\frac{1}{4} e^{2x} \right|_{1}^{2} \] \[ = e^4 - \displaystyle\frac{1}{2}e^2 - \left( \displaystyle\frac{1}{4}e^4 - \displaystyle\frac{1}{4}e^2 \right) = \displaystyle\frac{3}{4}e^4 - \displaystyle\frac{1}{4}e^2 \]Vậy thể tích \(V = \pi \left( \displaystyle\frac{3e^4 - e^2}{4} \right)\).
Một vật thể có chiều dài dọc theo trục \(Ox\) từ \(x = 0\) đến \(x = 4\). Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) là một hình vuông có cạnh bằng \(\sqrt{16 - x^2}\). Tính thể tích của vật thể đó.
Diện tích thiết diện tại điểm có hoành độ \(x\) là hình vuông nên:
\[ S(x) = \left(\sqrt{16 - x^2}\right)^2 = 16 - x^2 \]Thể tích vật thể là:
\[ V = \int_{0}^{4} S(x) \, dx = \int_{0}^{4} (16 - x^2) \, dx = \left. \left( 16x - \displaystyle\frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{4} = \left( 64 - \displaystyle\frac{64}{3} \right) - 0 = \displaystyle\frac{128}{3} \]6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Đối tượng tính toán | Công thức chuẩn | Đặc điểm ghi nhớ |
|---|---|---|
| Diện tích (1 đường) | \(S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx\) | So với trục hoành \(Ox\) |
| Diện tích (2 đường) | \(S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx\) | Lấy đường trên trừ đường dưới |
| Thể tích vật thể | \(V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx\) | Không có \(\pi\) ở ngoài |
| Thể tích tròn xoay (\(Ox\)) | \(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx\) | Có \(\pi\) và bình phương hàm số |
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) Đồ thị \(y = x^3 - 3x\), trục hoành \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = -1, x = 2\).
b) Đồ thị \(y = e^x\), đường thẳng \(y = 1\) và đường thẳng \(x = 2\).
Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x^2 - 4x + 3\) và \(y = 0\) xung quanh trục \(Ox\).
Bài 3 (Thực tế): Một bồn chứa nước hình chỏm cầu có bán kính \(R = 3\text{ m}\). Dùng tích phân hãy tính thể tích nước trong bồn khi chiều cao của mực nước là \(h = 2\text{ m}\).