Chương IV - Bài: Ứng dụng hình học của Tích phân

Giải thích: Theo định nghĩa ứng dụng diện tích của tích phân, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f(x)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) là \(S = \int_{a}^{b} \vert{}f(x)\vert{} \, dx\).

Giải thích: Công thức tính thể tích khối tròn xoay xoay quanh trục \(Ox\) là \(V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx\).

Giải thích: Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Vì \(x^2 - 4 \le 0\) trên \([-2; 2]\), nên diện tích là:
\(S = \int_{-2}^{2} \vert{}x^2 - 4\vert{} \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right)\Bigg\vert{}_{-2}^{2} = \frac{32}{3}\).

Giải thích: Hoành độ giao điểm: \(x^2 = 2x \Leftrightarrow x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Trên \([0; 2]\), ta có \(2x \ge x^2\).
\(S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx = \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{2} = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\).

Giải thích: Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:
\(V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx = \pi \left( \frac{x^2}{2} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{4} = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi\).

Giải thích: Do \(e^x > 0, \forall x\) nên diện tích hình phẳng là:
\(S = \int_{0}^{1} e^x \, dx = e^x \Big\vert{}_{0}^{1} = e^1 - e^0 = e - 1\).

Giải thích: Diện tích thiết diện là \(S(x) = (\sqrt{x+1})^2 = x + 1\).
Thể tích vật thể là \(V = \int_{0}^{3} S(x) \, dx = \int_{0}^{3} (x + 1) \, dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right)\Bigg\vert{}_{0}^{3} = \frac{9}{2} + 3 = \frac{15}{2}\).

Giải thích: Ta có \(V = \pi \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x \, dx = \pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \left( x + \frac{\sin 2x}{2} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{\pi^2}{4}\).

Giải thích: Phương trình hoành độ giao điểm \(x^3 - x = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 0, x = 1\).
Do tính đối xứng nên \(S = 2 \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = 2 \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}\).

Giải thích: Thể tích thùng rượu là thể tích khối tròn xoay:
\(V = \pi \int_{-2}^{2} (4 - 0,1x^2)^2 \, dx = \pi \int_{-2}^{2} (16 - 0,8x^2 + 0,01x^4) \, dx\).
Do hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn:
\(V = 2\pi \left( 16x - \frac{0,8x^3}{3} + \frac{0,01x^5}{5} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{2} = 2\pi \left( 32 - \frac{6,4}{3} + \frac{0,32}{5} \right) \approx 2\pi \cdot (29,9306) \approx 188,06\text{ dm}^3 \approx 188,8\text{ lít}\).