∫ BÀI HỌC TOÁN 12: TÍCH PHÂN
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương IV)
1. Khái niệm Tích phân
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\).
Hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân của hàm số \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\), ký hiệu là:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a) \]Trong đó:
- \(a\) gọi là cận dưới, \(b\) gọi là cận trên.
- \(f(x)dx\) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, \(x\) là biến số tích phân.
- Khi cận trên và cận dưới bằng nhau: \(\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0\)
- Khi đổi chỗ hai cận: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx\)
- Tích phân không phụ thuộc vào tên biến: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(u) \, du \]
2. Các tính chất cơ bản của Tích phân
- Tính chất hằng số: Với mọi số thực \(k\): \[ \int_{a}^{b} k \cdot f(x) \, dx = k \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
- Tính chất tổng / hiệu: \[ \int_{a}^{b} \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \pm \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]
- Tính chất tách đoạn (Chèn cận): Với điểm \(c \in (a; b)\): \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \]
- Tính chất không âm: Nếu \(f(x) \ge 0\) trên \([a; b]\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx \ge 0\).
3. Ý nghĩa hình học của Tích phân
Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm (\(f(x) \ge 0\)) trên đoạn \([a; b]\) thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\) chính là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi:
- Đồ thị hàm số \(y = f(x)\)
- Trục hoành \(y = 0\) (trục \(Ox\))
- Hai đường thẳng đứng \(x = a\) và \(x = b\)
4. Tích phân của một số hàm số sơ cấp cơ bản
| STT | Hàm số \(f(x)\) | Công thức Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) dx\) |
|---|---|---|
| 1 | \(k\) (hằng số) | \(k(b - a)\) |
| 2 | \(x^\alpha \quad (\alpha \ne -1)\) | \(\left. \displaystyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right|_{a}^{b} = \displaystyle\frac{b^{\alpha+1} - a^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) |
| 3 | \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\left. \ln|x| \right|_{a}^{b} = \ln|b| - \ln|a|\) |
| 4 | \(e^x\) | \(\left. e^x \right|_{a}^{b} = e^b - e^a\) |
| 5 | \(\cos x\) | \(\left. \sin x \right|_{a}^{b} = \sin b - \sin a\) |
| 6 | \(\sin x\) | \(\left. (-\cos x) \right|_{a}^{b} = -\cos b + \cos a\) |
| 7 | \(f(kx+m)\) | \(\left. \displaystyle\frac{1}{k} F(kx+m) \right|_{a}^{b}\) |
5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Tính các tích phân sau:
a) \(I_1 = \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx\)
b) \(I_2 = \int_{0}^{\pi/2} (2\cos x - \sin x) \, dx\)
a) Tìm một nguyên hàm \(F(x) = x^3 - x^2 + x\):
\[ I_1 = \left. (x^3 - x^2 + x) \right|_{1}^{2} = (2^3 - 2^2 + 2) - (1^3 - 1^2 + 1) = (8 - 4 + 2) - 1 = 5 \]b) Ta có nguyên hàm \(F(x) = 2\sin x + \cos x\):
\[ I_2 = \left. (2\sin x + \cos x) \right|_{0}^{\pi/2} = \left(2\sin \displaystyle\frac{\pi}{2} + \cos \displaystyle\frac{\pi}{2}\right) - (2\sin 0 + \cos 0) \] \[ = (2\cdot 1 + 0) - (0 + 1) = 2 - 1 = 1 \]Cho \(\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5\) và \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = 9\). Tính \(I = \int_{3}^{5} 2f(x) \, dx\).
Theo tính chất chèn cận, ta có:
\[ \int_{0}^{5} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \] \[ \Rightarrow 9 = 5 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \Rightarrow \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9 - 5 = 4 \]Áp dụng tính chất nhân hằng số:
\[ I = \int_{3}^{5} 2f(x) \, dx = 2 \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 2 \cdot 4 = 8 \]Một đoàn tàu bắt đầu hãm phanh với vận tốc thay đổi theo thời gian \(v(t) = 20 - 4t\) (m/s). Tính quãng đường đoàn tàu đi được từ lúc bắt đầu hãm phanh (\(t=0\)) cho đến khi dừng hẳn.
Đoàn tàu dừng hẳn khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow 20 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 5\) (giây).
Quãng đường đi được chính là tích phân của vận tốc từ \(t = 0\) đến \(t = 5\):
\[ S = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (20 - 4t) \, dt \] \[ S = \left. (20t - 2t^2) \right|_{0}^{5} = (20\cdot 5 - 2\cdot 5^2) - 0 = 100 - 50 = 50 \text{ (m)} \]6. Bảng tổng kết & Bài tập tự luyện
| Nội dung | Công thức / Ghi nhớ cốt lõi |
|---|---|
| Công thức Newton - Leibniz | \(\int_{a}^{b} f(x) dx = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a)\) |
| Đổi cận / Đảo cận | \(\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx\) |
| Chèn cận | \(\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx\) |
| Ý nghĩa hình học | \(S = \int_{a}^{b} f(x) dx\) (khi \(f(x) \ge 0\) trên \([a; b]\)) |
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{0}^{1} (4x^3 + e^x) \, dx\)
b) \(\int_{1}^{2} \left( \displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{2}{x^2} \right) \, dx\)
Bài 2: Cho \(\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 6\) và \(\int_{1}^{4} g(x) \, dx = -2\). Tính giá trị biểu thức \(K = \int_{1}^{4} [3f(x) - 2g(x)] \, dx\).
Bài 3: Một mô tô đang chạy với vận tốc \(15 \text{ m/s}\) thì người lái tăng tốc với gia tốc \(a(t) = 2t + 1 \text{ (m/s}^2\text{)}\). Tính quãng đường xe đi được trong 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.