Trắc nghiệm Toán 12: Tích phân

Chương IV - Bài: Tích Phân

Toán 12 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm tương tác

Câu 1. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a; b]\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Giải thích: Theo công thức Newton-Leibniz, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \([a; b]\) thì \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Big\vert{}_{a}^{b} = F(b) - F(a)\).
Câu 2. Cho \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 4\) và \(\int_{1}^{3} g(x) \, dx = -2\). Giá trị của tích phân \(\int_{1}^{3} [2f(x) - g(x)] \, dx\) bằng:
Giải thích: Áp dụng tính chất của tích phân:
\(\int_{1}^{3} [2f(x) - g(x)] \, dx = 2\int_{1}^{3} f(x) \, dx - \int_{1}^{3} g(x) \, dx = 2 \cdot 4 - (-2) = 8 + 2 = 10\).
Câu 3. Tích phân \(I = \int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \, dx\) bằng:
Giải thích: Ta có \(I = (x^3 + x)\Big\vert{}_{0}^{1} = (1^3 + 1) - (0^3 + 0) = 2\).
Câu 4. Cho biết \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 3\) và \(\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 7\). Tính tích phân \(\int_{0}^{5} f(x) \, dx\).
Giải thích: Theo tính chất chèn cận của tích phân:
\(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 3 + 7 = 10\).
Câu 5. Tích phân \(I = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx\) có giá trị bằng:
Giải thích: Ta có \(I = (-\cos x)\Big\vert{}_{0}^{\pi/2} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos 0) = -0 - (-1) = 1\).
Câu 6. Tích phân \(I = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx\) có giá trị bằng:
Giải thích: Ta có \(I = \ln\vert{}x\vert{} \Big\vert{}_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1\).
Câu 7 Thực tế. Nước được bơm vào một bể chứa với tốc độ \(v(t) = 20t + 50\) (lít/phút), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng phút. Tổng lượng nước chảy vào bể trong khoảng thời gian từ phút thứ \(1\) đến phút thứ \(3\) bằng:
Giải thích: Tổng lượng nước bơm vào bể từ phút 1 đến phút 3 là tích phân của tốc độ bơm \(v(t)\):
\(V = \int_{1}^{3} (20t + 50) \, dt = (10t^2 + 50t) \Big\vert{}_{1}^{3}\).
\(V = (10 \cdot 3^2 + 50 \cdot 3) - (10 \cdot 1^2 + 50 \cdot 1) = (90 + 150) - (10 + 50) = 240 - 60 = 180\text{ lít}\).
Câu 8 Thực tế. Tốc độ khai thác dầu từ một giếng khoan được mô hình hóa bởi hàm số \(r(t) = 100e^{0,1t}\) (thùng/năm), với \(t\) là thời gian tính bằng năm kể từ khi bắt đầu khai thác. Tổng số lượng dầu được khai thác từ năm đầu tiên (\(t = 0\)) đến hết năm thứ hai (\(t = 2\)) gần nhất với giá trị nào sau đây?
Giải thích: Tổng sản lượng dầu khai thác trong 2 năm đầu là tích phân từ \(0\) đến \(2\) của \(r(t)\):
\(Q = \int_{0}^{2} 100e^{0,1t} \, dt = \left( \frac{100}{0,1} e^{0,1t} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{2} = 1000 \cdot (e^{0,2} - e^0) \approx 1000 \cdot (1,2214 - 1) = 221,4\text{ thùng}\).
Câu 9 Thực tế. Một quần thể vi khuẩn trong phòng thí nghiệm phát triển với tốc độ thay đổi được tính theo công thức \(P'(t) = \frac{1000}{1 + 2t}\) (con/giờ), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giờ. Số lượng vi khuẩn tăng thêm trong khoảng thời gian từ giờ thứ \(0\) đến giờ thứ \(4\) xấp xỉ bằng:
Giải thích: Số lượng vi khuẩn tăng thêm trong 4 giờ đầu là:
\(\Delta P = \int_{0}^{4} \frac{1000}{1 + 2t} \, dt = \left( 500 \ln\vert{}1 + 2t\vert{} \right)\Bigg\vert{}_{0}^{4} = 500 \cdot (\ln 9 - \ln 1) = 500 \ln 9 \approx 1098,6\text{ con}\).
Câu 10 Thực tế. Công suất tiêu thụ điện của một nhà máy nhỏ biến đổi theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ca làm việc 8 giờ được mô tả bởi hàm số \(P(t) = 3t^2 + 20\) (kW). Điện năng \(E\) (tính bằng kW·h) nhà máy đó đã tiêu thụ từ giờ thứ \(0\) đến giờ thứ \(8\) được tính bằng công thức \(E = \int_{0}^{8} P(t) \, dt\). Giá trị của \(E\) bằng:
Giải thích: Điện năng tiêu thụ là tích phân của công suất theo thời gian:
\(E = \int_{0}^{8} (3t^2 + 20) \, dt = (t^3 + 20t)\Big\vert{}_{0}^{8} = (8^3 + 20 \cdot 8) - 0 = 512 + 160 = 672\text{ kW}\cdot\text{h}\).

Kết quả của bạn