BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Vectơ trong không gian
- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là \(\overrightarrow{AB}\).
- Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được kí hiệu là \(|\overrightarrow{AB}|\). Khi đó \(|\overrightarrow{AB}|=AB\).
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ-không. Kí hiệu là \(\vec{0}\).
2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian
- Quy tắc cộng: \(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}\).
- Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD là hình bình hành. Khi đó, ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\).
- Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, ta có \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\).
- Quy tắc trừ: \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\).
3. Tích của một số với một vectơ trong không gian
- Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với M bất kì ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\).
- Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì với S bất kì ta có \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}\).
- Quy tắc tâm của hình bình hành: Nếu O là tâm của hình bình hành ABCD thì với S bất kì ta có \(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}\).
4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
- Góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) kí hiệu là \(\left(\vec{a},\vec{b}\right)\)
- \(\left(\vec{AB},\vec{AC}\right)=\widehat{BAC}\)
- \(\left(\vec{MN},\vec{PN}\right)=\widehat{MNP}\)
- \(\left(\vec{AB},\vec{CA}\right)=180^{\circ}-\widehat{BAC}\)
- Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là: \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=| \overrightarrow{a}|.| \overrightarrow{b}|.\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)\) Chú ý
\(\vec{a}\bot\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
\(\vec{a}^2=|\vec{a}|^2\). Khi đó \(\vec{AB}^2=AB^2\)
