12-c2-b6. Vectơ trong không gian-LT

Bài học Toán THPT - Vectơ Trong Không Gian

1. Khái niệm vectơ trong không gian

📌 Định nghĩa:

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Ký hiệu vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) là \(\overrightarrow{AB}\). Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\), ký hiệu là \(|\overrightarrow{AB}| = AB\).

Mối quan hệ giữa hai vectơ:

Giá của vectơ: Là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Cùng hướng / Ngược hướng: Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng, ký hiệu \(\vec{a} = \vec{b}\).
Vectơ không: Ký hiệu \(\vec{0}\), là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (ví dụ \(\overrightarrow{AA}\)). Vectơ \(\vec{0}\) có độ dài bằng \(0\) và cùng phương với mọi vectơ.

💡 Điểm khác biệt chính giữa Hình học phẳng và Không gian: Các khái niệm cơ bản về vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Tuy nhiên, các giá của vectơ trong không gian có thể chéo nhau.

2. Các phép toán vectơ: Phép cộng, Phép trừ & Các quy tắc

📌 Các quy tắc tính toán cơ bản:

Quy tắc Ba điểm (Phép cộng & trừ):
Với ba điểm \(A, B, C\) bất kỳ trong không gian:
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} \]
Quy tắc Hình bình hành:
Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì:
\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \]

📌 Quy tắc Hình hộp (Mới & Đặc trưng cho Không gian):

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tổng của ba vectơ xuất phát từ cùng một đỉnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó:

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \]

🚀 Tính chất Trung điểm & Trọng tâm:

Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì với mọi điểm \(O\): \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}\) hay \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).
Nếu \(G\) là trọng tâm của tứ diện \(ABCD\) thì với mọi điểm \(O\): \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OG}\).

3. Phép nhân vectơ với một số & Điều kiện đồng phẳng

📌 Phép nhân vectơ với một số:

Cho số \(k \ne 0\) và vectơ \(\vec{a} \ne \vec{0}\). Tích của số \(k\) với vectơ \(\vec{a}\) là một vectơ, ký hiệu \(k\vec{a}\), có:

Độ dài: \(|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\).
Hướng: Cùng hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k > 0\); Ngược hướng với \(\vec{a}\) nếu \(k < 0\).

Điều kiện cùng phương và phân tích vectơ:

Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) (\(\vec{b} \ne \vec{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số \(k\) sao cho \(\vec{a} = k\vec{b}\).
Biểu diễn (Phân tích) một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng:
Cho ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) không đồng phẳng. Với mọi vectơ \(\vec{x}\) trong không gian, luôn tồn tại duy nhất bộ ba số thực \((m, n, p)\) sao cho:
\[ \vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b} + p\vec{c} \]

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

📌 Góc giữa hai vectơ:

Cho hai vectơ \(\vec{a}, \vec{b} \ne \vec{0}\). Từ điểm \(O\) bất kỳ, vẽ \(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\) và \(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\). Khi đó, góc \(\widehat{AOB}\) (\(0^\circ \le \widehat{AOB} \le 180^\circ\)) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), ký hiệu \((\vec{a}, \vec{b})\).

📌 Định nghĩa Tích vô hướng:

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) trong không gian là một số thực, được tính theo công thức:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) \]

💡 Các ứng dụng quan trọng của Tích vô hướng:

Điều kiện vuông góc: \(\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) (với \(\vec{a}, \vec{b} \ne \vec{0}\)).
Tính góc giữa hai vectơ: \(\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \displaystyle\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\).
Bình phương vô hướng: \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \Leftrightarrow |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}^2}\).

5. Ví dụ minh họa & Bài tập luyện tập

Ví dụ 1 Ứng dụng Quy tắc Hình hộp trong Không gian

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AC'}\).

Lời giải:

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên các mặt đối diện là các hình bình hành bằng nhau:

- Ta có: \(\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{AD}\) (vì tứ giác \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau).

- Ta có: \(\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{AA'}\).

Thay vào vế trái của đẳng thức, ta được:

\[ \text{VT} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \]

Áp dụng Quy tắc hình hộp cho ba vectơ chung gốc \(A\):

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} = \text{VP (đpcm)} \]

Ví dụ 2 Tính Tích vô hướng & Góc trong Hình lập phương

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'C'}\) và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{A'C'}\).

Lời giải:

1. Ta có \(A'B'C'D'\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(\overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB}\).

Do đó: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'B'} \cdot \overrightarrow{A'C'}\).

2. Xét tam giác \(A'B'C'\) vuông cân tại \(B'\):

- Độ dài: \(|\overrightarrow{A'B'}| = a\), đường chéo \(|\overrightarrow{A'C'}| = a\sqrt{2}\).

- Góc giữa hai vectơ chung gốc \(A'\): \((\overrightarrow{A'B'}, \overrightarrow{A'C'}) = \widehat{B'A'C'} = 45^\circ\).

3. Tính tích vô hướng:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A'C'} = |\overrightarrow{A'B'}| \cdot |\overrightarrow{A'C'}| \cdot \cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = a^2 \]

📝 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}\).

Bài 2: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MN} = \displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})\).

Bài 3: Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) và chứng minh \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD}\).

6. Ghi nhớ & Tổng kết quy tắc hình học

Tên quy tắc	Công thức Vectơ	Điều kiện áp dụng
Quy tắc 3 điểm (Cộng)	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)	Điểm cuối vectơ này là điểm đầu vectơ kia.
Quy tắc 3 điểm (Trừ)	\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}\)	Hai vectơ chung điểm đầu.
Quy tắc Hình bình hành	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\)	\(ABCD\) là hình bình hành.
Quy tắc Hình hộp	\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\)	\(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp.
Công thức Trung điểm	\(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\) hay \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\)	\(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\).

🎯 Mẹo phân tích vectơ trong không gian:

Để chứng minh đường thẳng vuông góc hoặc tính góc, hãy phân tích các vectơ cần tính về các cặp vectơ cạnh / đường chéo đã biết độ dài và góc trong hình.
Sử dụng thành thạo Quy tắc hình hộp và Công thức chèn điểm (\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}\)) sẽ giúp đơn giản hóa hầu hết các bài toán tính tích vô hướng.

📘 BÀI HỌC TOÁN 12: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN