Bài 6: Vectơ Trong Không Gian

Giải thích: Theo quy tắc hình hộp: Xuất phát từ cùng đỉnh \(A\), ta có \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}\) (với \(AC'\) là đường chéo của hình hộp).

Giải thích: Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông nên \(\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC}\).
Do đó, \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'C'}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC}\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên đường chéo \(AC\) phân giác góc \(\widehat{DAB} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BAC} = 45^\circ\).

Giải thích: Vì \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh \(a\) nên tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), suy ra góc \(\widehat{BAC} = 60^\circ\).
Áp dụng công thức tích vô hướng: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \vert{}\overrightarrow{AB}\vert{} \cdot \vert{}\overrightarrow{AC}\vert{} \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}a^2\).

Giải thích: Ta có:
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}\)
\(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN}\)
Cộng hai vế ta được: \(2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN})\).
Vì \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\); \(N\) là trung điểm \(CD\) nên \(\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \overrightarrow{0}\).
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \Rightarrow \overrightarrow{MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\).

Giải thích: Định lý biểu diễn một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng: Trong không gian, nếu ba vectơ \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) không đồng phẳng thì với mọi vectơ \(\vec{x}\), ta đều tìm được duy nhất một bộ ba số thực \((m; n; p)\) sao cho \(\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b} + p\vec{c}\).

Giải thích: Vì \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Theo quy tắc trung điểm:
\(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO}\)
\(\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO}\)
Cộng hai vế: \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 4\overrightarrow{SO}\).

Giải thích: Gọi lực căng của ba dây là \(\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3\) có cùng độ lớn \(F\). Trọng lực \(\vec{P}\) hướng thẳng đứng xuống dưới.
Để chiếc đèn cân bằng thì \(\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{P} = \vec{0}\).
Trụ đứng của lực căng lên phương thẳng đứng: Thành phần thẳng đứng của mỗi lực căng cáp là \(F_z = F \cdot \sin 60^\circ\).
Tổng lực nâng thẳng đứng cân bằng với trọng lượng \(P\):
\(3 \cdot F \cdot \sin 60^\circ = P \Leftrightarrow 3 \cdot F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 90 \Leftrightarrow F = \frac{180}{3\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\text{ N}\).

Giải thích: \(A, B, C\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}\) (với \(k \in \mathbb{R}\)).
Chèn điểm \(M\) vào: \(\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MA} = k(\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA})\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MA} + k\overrightarrow{MB} - k\overrightarrow{MA} = (1-k)\overrightarrow{MA} + k\overrightarrow{MB}\) (hay \(k\overrightarrow{MA} + (1-k)\overrightarrow{MB}\)).

Giải thích: Áp dụng quy tắc hình hộp xuất phát từ đỉnh \(B'\):
\(\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{B'A'} + \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{B'B}\). Do đó đáp án A là chính xác.

Giải thích: Đặt \(SA = SB = SC = a\).
Xét tích vô hướng \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA} \cdot (\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB}) = \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB}\).
Ta có: \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\);
\(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{SB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\).
Suy ra \(\overrightarrow{SA} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{SA} \perp \overrightarrow{BC}\).
Vậy góc giữa hai vectơ bằng \(90^\circ\).