📘 BÀI HỌC TOÁN 12: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Đường tiệm cận đứng
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên một khoảng dạng \((a; x_0)\) hoặc \((x_0; b)\).
Đường thẳng \(x = x_0\) được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
- \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty\)
- \(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty\)
- \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty\)
- \(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty\)
Nghiệm \(x = x_0\) của mẫu số \(Q(x) = 0\) mà không bị triệt tiêu bởi tử số \(P(x)\) (hoặc làm cho tử số khác 0) thường là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
2. Đường tiệm cận ngang
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\) hoặc \((-\infty; b)\).
Đường thẳng \(y = y_0\) được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0 \]- Bậc tử < Bậc mẫu: Luôn có 1 TCN là đường thẳng \(y = 0\) (trục hoành).
- Bậc tử = Bậc mẫu: Có 1 TCN là \(y = \displaystyle\frac{\text{Hệ số bậc cao nhất ở tử}}{\text{Hệ số bậc cao nhất ở mẫu}}\).
- Bậc tử > Bậc mẫu: Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
3. Đường tiệm cận xiên (Nội dung mới SGK Toán 12 KNTT)
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +\infty)\) hoặc \((-\infty; b)\).
Đường thẳng \(y = ax + b \quad (a \ne 0)\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu:
\[ \lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0 \]Công thức xác định các hệ số \(a\) và \(b\):
Đối với hàm số dạng \(y = \displaystyle\frac{Ax^2 + Bx + C}{px + q} \quad (A \ne 0, p \ne 0)\):
Ta chia đa thức tử cho mẫu để viết dưới dạng: \(y = ax + b + \displaystyle\frac{r}{px + q}\).
Khi đó, đường thẳng \(y = ax + b\) chính là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
4. Ví dụ minh họa
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: \(y = \displaystyle\frac{2x - 3}{x + 1}\)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
2. Tiệm cận đứng:
Ta có \(\lim_{x \to -1^+} \displaystyle\frac{2x - 3}{x + 1} = -\infty\) và \(\lim_{x \to -1^-} \displaystyle\frac{2x - 3}{x + 1} = +\infty\).
Do đó, đường thẳng \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
3. Tiệm cận ngang:
Ta có \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{2x - 3}{x + 1} = 2\) và \(\lim_{x \to -\infty} \displaystyle\frac{2x - 3}{x + 1} = 2\).
Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y = \displaystyle\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}\)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
2. Tiệm cận đứng:
Vì \(\lim_{x \to 1^+} \displaystyle\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1} = -\infty\), nên đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
3. Tiệm cận xiên:
Thực hiện phép chia đa thức tử cho mẫu, ta có:
\[ y = x - 2 - \displaystyle\frac{1}{x - 1} \]Xét giới hạn:
\[ \lim_{x \to \pm\infty} [y - (x - 2)] = \lim_{x \to \pm\infty} \left(-\displaystyle\frac{1}{x - 1}\right) = 0 \]Vậy đường thẳng \(y = x - 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Chi phí trung bình (tính bằng ngàn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi hàm số \(C(x) = \displaystyle\frac{5000 + 30x}{x} \quad (x > 0)\). Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số chi phí trung bình và giải thích ý nghĩa thực tiễn của nó.
Biến đổi hàm chi phí trung bình: \(C(x) = \displaystyle\frac{5000}{x} + 30\).
Tính giới hạn khi quy mô sản xuất \(x\) tiến ra vô cùng (\(x \to +\infty\)):
\[ \lim_{x \to +\infty} C(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\displaystyle\frac{5000}{x} + 30\right) = 0 + 30 = 30 \]Do đó, đường thẳng \(C = 30\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ý nghĩa thực tiễn: Khi số lượng sản phẩm sản xuất ra ngày càng lớn (\(x \to +\infty\)), chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm sẽ giảm dần và tiến sát về mức \(30\) ngàn đồng.
5. Luyện tập tự giải
a) \(y = \displaystyle\frac{3x + 1}{2x - 4}\)
b) \(y = \displaystyle\frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}\)
c) \(y = \displaystyle\frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}\)
a) \(y = \displaystyle\frac{2x^2 - 5x + 3}{x - 2}\)
b) \(y = x + 1 + \displaystyle\frac{3}{x + 2}\)
6. Ghi nhớ & Tổng kết
| Loại tiệm cận | Phương trình đường tiệm cận | Điều kiện / Công thức tính giới hạn |
|---|---|---|
| Tiệm cận đứng | \(x = x_0\) | \(\lim_{x \to x_0^\pm} f(x) = \pm\infty\) (Xảy ra tại điểm gián đoạn) |
| Tiệm cận ngang | \(y = y_0\) | \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = y_0\) (Tính giới hạn tại vô cực) |
| Tiệm cận xiên | \(y = ax + b \quad (a \ne 0)\) | \(a = \lim_{x \to \pm\infty} \displaystyle\frac{f(x)}{x}\), \(b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax]\) |
- Hàm \(y = \displaystyle\frac{ax + b}{cx + d}\): 1 TCĐ \(x = -\displaystyle\frac{d}{c}\) và 1 TCN \(y = \displaystyle\frac{a}{c}\).
- Hàm \(y = \displaystyle\frac{Ax^2 + Bx + C}{px + q}\): 1 TCĐ \(x = -\displaystyle\frac{q}{p}\) và 1 TCX thu được từ phần nguyên của phép chia.