Câu 1. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 3}\) là đường thẳng có phương trình:
Giải thích: Ta có \(\lim_{x \to -3^+} \frac{2x - 1}{x + 3} = -\infty\) (do tử tiến tới \(-7 < 0\) và mẫu tiến tới \(0^+\)). Do đó đường thẳng \(x = -3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{3x + 2}{1 - x}\) là đường thẳng:
Giải thích: Ta có \(\lim_{x \to +\infty} \frac{3x + 2}{1 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + \frac{2}{x}}{\frac{1}{x} - 1} = -3\). Tương tự \(\lim_{x \to -\infty} y = -3\). Do đó đường thẳng \(y = -3\) là tiệm cận ngang.
Câu 3. Tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}\).
Giải thích: Ta chia đa thức: \(y = \frac{x(x - 1) + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x - 1}\).
Vì \(\lim_{x \to \pm\infty} [y - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x - 1} = 0\), nên đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Câu 4. Tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 1}\).
Giải thích: Biến đổi chia đa thức: \(y = \frac{2x^2 + x - 3}{x + 1} = 2x - 1 - \frac{2}{x + 1}\).
Vì \(\lim_{x \to \pm\infty} \left[ y - (2x - 1) \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -\frac{2}{x + 1} \right) = 0\), nên đường thẳng \(y = 2x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Câu 5. Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^2 - 4}\) là:
Giải thích: Ta có \(y = \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{1}{x - 2}\) (với \(x \neq -2\)).
- Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng (tại \(x = -2\) giới hạn bằng \(-\frac{1}{4}\) nên không là TCĐ).
- Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} y = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang.
Tổng số đường tiệm cận là \(1 + 1 = 2\).
Câu 6. Tọa độ giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{2x - 3}{x + 1}\) là:
Giải thích: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = -1\) và tiệm cận ngang \(y = 2\).
Giao điểm của hai đường tiệm cận này là điểm \(I(-1; 2)\).
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x - 1}{x^2 - 2mx + 4}\) có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
Giải thích: Đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình mẫu số \(g(x) = x^2 - 2mx + 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\) (nghiệm của tử số).
- Có 2 nghiệm phân biệt: \(\Delta' = m^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 2\) hoặc \(m < -2\).
- Nghiệm khác \(1\): \(g(1) = 1^2 - 2m(1) + 4 \neq 0 \Leftrightarrow 5 - 2m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{5}{2}\).
Kết hợp điều kiện thu được C.
Câu 8. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
• Khi \(x \to -\infty\), \(y \to 2\)
• Khi \(x \to -1^-\), \(y \to +\infty\); khi \(x \to -1^+\), \(y \to -\infty\)
• Khi \(x \to 2^-\), \(y \to 3\); khi \(x \to 2^+\), \(y \to +\infty\)
• Khi \(x \to +\infty\), \(y \to 2\)
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
Giải thích: Căn cứ vào bảng biến thiên:
- Tiệm cận ngang: \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2 \Rightarrow y = 2\) là tiệm cận ngang (1 đường).
- Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to -1} f(x) = \infty \Rightarrow x = -1\) là tiệm cận đứng; \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng (2 đường).
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là \(1 + 2 = 3\).
Câu 9. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x - 1}\) là:
Giải thích:
- Tiệm cận đứng: \(\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow x = 1\) là TCĐ.
- Tiệm cận ngang:
+ \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x(1 - 1/x)} = 1 \Rightarrow y = 1\) là TCN.
+ \(\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x(1 - 1/x)} = -1 \Rightarrow y = -1\) là TCN.
Vậy đồ thị có tổng cộng 3 đường tiệm cận (1 đứng, 2 ngang).
Câu 10 Thực tế. Mồng một Tết, một bệnh viện ghi nhận nồng độ thuốc (đơn vị: mg/l) trong máu của một bệnh nhân sau \(t\) giờ sử dụng thuốc được mô hình hóa bởi hàm số \(C(t) = \frac{5t}{t^2 + 1}\) (với \(t \ge 0\)). Khi thời gian \(t\) trôi qua rất lớn (\(t \to +\infty\)), nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sẽ tiến dần về giá trị nào?
Giải thích:
Khi thời gian trôi qua rất lâu (\(t \to +\infty\)), ta tính giới hạn:
\(\lim_{t \to +\infty} C(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{5t}{t^2 + 1} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\frac{5}{t}}{1 + \frac{1}{t^2}} = \frac{0}{1} = 0\).
Điều này thể hiện tiệm cận ngang \(y = 0\), nghĩa là theo thời gian thuốc sẽ được đào thải hoàn toàn và nồng độ thuốc trong máu tiến dần về \(0\text{ mg/l}\).