📘 BÀI HỌC TOÁN 12: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống
1. Tính đơn điệu của hàm số (Đồng biến & Nghịch biến)
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\) (khoảng \(K\) có thể là một khoảng, nửa khoảng hoặc khoảng vô hạn).
- Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng \(K\).
- Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(K\).
- Nếu \(f'(x) = 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(y = f(x)\) không đổi (hằng số) trên khoảng \(K\).
Nếu \(f'(x) \ge 0\) (hoặc \(f'(x) \le 0\)) với mọi \(x \in K\) và đẳng thức \(f'(x) = 0\) chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc \(K\) thì hàm số \(f(x)\) vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng \(K\).
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i \in D\) mà tại đó \(f'(x) = 0\) hoặc đạo hàm không xác định.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến từ bảng biến thiên.
2. Cực trị của hàm số
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\) và \(x_0 \in D\).
- \(x_0\) được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng \((a; b) \subset D\) chứa \(x_0\) sao cho \(f(x) < f(x_0)\) với mọi \(x \in (a; b) \setminus \{x_0\}\). Khi đó, \(f(x_0)\) gọi là giá trị cực đại (hay cực đại) của hàm số, ký hiệu là \(y_{CĐ}\).
- \(x_0\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại khoảng \((a; b) \subset D\) chứa \(x_0\) sao cho \(f(x) > f(x_0)\) với mọi \(x \in (a; b) \setminus \{x_0\}\). Khi đó, \(f(x_0)\) gọi là giá trị cực tiểu (hay cực tiểu) của hàm số, ký hiệu là \(y_{CT}\).
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a; b)\) chứa điểm \(x_0\) và có đạo hàm trên \((a; b) \setminus \{x_0\}\):
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ dương \((+)\) sang âm \((-)\) khi \(x\) qua điểm \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực đại.
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm \((-)\) sang dương \((+)\) khi \(x\) qua điểm \(x_0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu.
3. Các quy tắc tìm Cực trị của hàm số
| Phương pháp | Quy tắc 1 (Dùng Bảng biến thiên) | Quy tắc 2 (Dùng Đạo hàm cấp 2) |
|---|---|---|
| Bước 1 | Tính \(f'(x)\), giải phương trình \(f'(x) = 0\) tìm các nghiệm \(x_i\). | Tính \(f'(x)\), giải phương trình \(f'(x) = 0\) tìm các nghiệm \(x_0\). |
| Bước 2 | Lập bảng xét dấu / bảng biến thiên cho \(f'(x)\). | Tính đạo hàm cấp hai \(f''(x)\). |
| Bước 3 | Dựa vào sự đổi dấu của \(f'(x)\) qua các điểm \(x_i\) để kết luận CĐ, CT. |
Thay \(x_0\) vào \(f''(x_0)\): • Nếu \(f''(x_0) < 0 \Rightarrow x_0\) là **điểm CĐ**. • Nếu \(f''(x_0) > 0 \Rightarrow x_0\) là **điểm CT**. |
4. Ví dụ minh họa
Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số: \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
2. Đạo hàm: \(y' = 3x^2 - 6x\).
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}\right.\)
3. Bảng biến thiên:
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(2\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y'\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(y\) | ↗ | \(2\) (CĐ) | ↘ | \(-2\) (CT) | ↗ |
4. Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; 0)\) và \((2; +\infty)\).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; 2)\).
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với \(y_{CĐ} = 2\).
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) với \(y_{CT} = -2\).
Tìm các điểm cực trị của hàm số \(y = x^4 - 4x^2 + 3\) bằng cách dùng đạo hàm cấp hai.
1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
2. Ta có: \(y' = 4x^3 - 8x\). Giải \(y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \sqrt{2} \\ x = -\sqrt{2} \end{array}\right.\)
3. Đạo hàm cấp hai: \(y'' = 12x^2 - 8\).
4. Xét dấu đạo hàm cấp hai tại các nghiệm:
- Với \(x = 0 \Rightarrow y''(0) = -8 < 0 \Rightarrow x = 0\) là điểm cực đại. Khi đó \(y_{CĐ} = 3\).
- Với \(x = \sqrt{2} \Rightarrow y''(\sqrt{2}) = 12(2) - 8 = 16 > 0 \Rightarrow x = \sqrt{2}\) là điểm cực tiểu. Khi đó \(y_{CT} = -1\).
- Với \(x = -\sqrt{2} \Rightarrow y''(-\sqrt{2}) = 16 > 0 \Rightarrow x = -\sqrt{2}\) là điểm cực tiểu. Khi đó \(y_{CT} = -1\).
Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm với hàm tổng chi phí là \(C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 100\) (với \(x > 0\) là số lượng sản phẩm). Hãy tìm số sản phẩm \(x\) để chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm \(K(x) = \displaystyle\frac{C(x)}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất (cực tiểu).
Hàm chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là:
\[ K(x) = \displaystyle\frac{x^3 - 6x^2 + 15x + 100}{x} = x^2 - 6x + 15 + \displaystyle\frac{100}{x} \quad (x > 0) \]Tính đạo hàm \(K'(x)\):
\[ K'(x) = 2x - 6 - \displaystyle\frac{100}{x^2} = \displaystyle\frac{2x^3 - 6x^2 - 100}{x^2} \]Cho \(K'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x^3 - 6x^2 - 100 = 0 \Leftrightarrow 2(x - 5)(x^2 + 2x + 10) = 0 \Leftrightarrow x = 5\) (vì \(x^2+2x+10 > 0\)).
Với \(x \in (0; 5)\) thì \(K'(x) < 0\); với \(x \in (5; +\infty)\) thì \(K'(x) > 0\).
Vậy hàm chi phí trung bình \(K(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 5\) sản phẩm.
5. Luyện tập tự giải
a) \(y = -x^3 + 3x^2 + 9x - 5\)
b) \(y = \displaystyle\frac{2x + 1}{x - 1}\)
c) \(y = x^4 - 2x^2 + 2\)
6. Ghi nhớ & Tổng kết
- \(f'(x) > 0 \Rightarrow\) Đồ thị đi lên từ trái sang phải (Đồng biến).
- \(f'(x) < 0 \Rightarrow\) Đồ thị đi xuống từ trái sang phải (Nghịch biến).
- \(f'(x)\) đổi dấu qua \(x_0 \Rightarrow\) Hàm số có cực trị tại \(x_0\).
- Điểm cực đại / cực tiểu của HÀM SỐ: là giá trị của \(x\) (ví dụ: \(x = x_0\)).
- Giá trị cực đại / cực tiểu (hay Cực đại / Cực tiểu): là giá trị của \(y\) (ví dụ: \(y = f(x_0)\)).
- Điểm cực đại / cực tiểu của ĐỒ THỊ HÀM SỐ: là tọa độ điểm \(M(x_0; y_0)\) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).