Câu 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x^2 - 4\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Ta có \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Bảng xét dấu \(f'(x)\): \(f'(x) < 0\) trên khoảng \((-2; 2)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2; 2)\).
Câu 2. Cho hàm số \(y = x^3 - 3x + 1\). Khoảng đồng biến của hàm số là:
Giải thích: Ta có \(y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)\).
\(y' > 0 \Leftrightarrow x < -1\) hoặc \(x > 1\). Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((1; +\infty)\).
Câu 3. Số điểm cực trị của hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 3\) là:
Giải thích: Ta có \(y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1\). Đạo hàm đổi dấu khi qua 3 nghiệm phân biệt này nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 4. Cho hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\). Mệnh đề nào sau đây **đúng**?
Giải thích: Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).
Tập đạo hàm: \(y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0\) với mọi \(x \neq -1\).
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty; -1)\) và \((-1; +\infty)\).
Câu 5. Giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) là:
Giải thích: Ta có \(y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Bảng biến thiên cho thấy điểm cực tiểu là \(x = 2\), suy ra giá trị cực tiểu \(y_{CT} = y(2) = 2^3 - 3(2^2) + 2 = -2\).
Câu 6. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x) = x(x - 1)^2(x + 2)^3\). Số điểm cực đại của hàm số là:
Giải thích: Nghiệm của \(f'(x) = 0\) là \(x = 0\) (nghiệm đơn), \(x = 1\) (nghiệm bội 2), \(x = -2\) (nghiệm bội 3).
Đạo hàm chỉ đổi dấu qua các nghiệm bội lẻ \(x = 0\) và \(x = -2\).
Xét dấu \(f'(x)\):
- Trên \((0; +\infty)\): \(f'(x) > 0\).
- Trên \((-2; 0)\): \(f'(x) < 0\).
- Trên \((-\infty; -2)\): \(f'(x) > 0\).
Vì \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua \(x = -2\) nên \(x = -2\) là điểm cực đại. Hàm số có duy nhất **1 điểm cực đại**.
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m + 2)x - 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Giải thích: Ta có \(y' = x^2 - 2mx + (m + 2)\).
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow \Delta' = m^2 - (m + 2) \le 0 \Leftrightarrow m^2 - m - 2 \le 0 \Leftrightarrow -1 \le m \le 2\).
Câu 8. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
• \(x\) chạy từ \(-\infty \to -1 \to 2 \to +\infty\)
• \(f'(x)\) nhận dấu: \((+) \to 0 \to (-) \to 0 \to (+)\)
• \(f(x)\) đi từ \(-\infty\) đi lên \(3\), đi xuống \(-1\), rồi đi lên \(+\infty\).
Khẳng định nào sau đây **đúng**?
Giải thích: Từ bảng biến thiên:
- Cực đại tại \(x = -1\), giá trị cực đại \(y_{CĐ} = 3\). Điểm cực đại của đồ thị là \((-1; 3)\).
- Cực tiểu tại \(x = 2\), giá trị cực tiểu \(y_{CT} = -1\).
Câu 9. Điểm cực đại của hàm số \(y = x + \frac{4}{x}\) là:
Giải thích: Tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Lập bảng biến thiên:
- Với \(x < -2\), \(y' > 0\); với \(-2 < x < 0\), \(y' < 0\). Do đó \(x = -2\) là điểm cực đại của hàm số.
Câu 10 Thực tế. Một vật chuyển động theo phương trình quãng đường \(s(t) = -t^3 + 9t^2 + 12t + 2\) (với \(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Vận tốc \(v(t)\) của vật đạt giá trị lớn nhất (đạt cực đại) tại thời điểm \(t\) bằng bao nhiêu?
Giải thích:
Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:
\(v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 12\).
Xét tính đơn điệu và cực trị của hàm vận tốc \(v(t)\):
\(v'(t) = -6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3\text{ s}\).
Vì \(v'(t) > 0\) với \(t < 3\) và \(v'(t) < 0\) với \(t > 3\) nên hàm vận tốc đạt giá trị cực đại (lớn nhất) tại thời điểm \(t = 3\text{ s}\).