BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VI
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
A – TRẮC NGHIỆM
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.12 đến 6.14:
Cho \(P(A) = \frac{2}{5}\); \(P(B | A) = \frac{1}{3}\); \(P(B | \overline{A}) = \frac{1}{4}\).
Áp dụng công thức nhân xác suất:
\[P(AB) = P(A) \cdot P(B | A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}\]Chọn A.
Ta có \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\).
Do đó:
\[P(B\overline{A}) = P(\overline{A}) \cdot P(B | \overline{A}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}\]Chọn D.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\[P(B) = P(AB) + P(B\overline{A}) = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{8}{60} + \frac{9}{60} = \frac{17}{60}\]Chọn B.
Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.15 đến 6.17:
Bạn An có một túi gồm các chiếc kẹo cùng loại, gồm 6 chiếc kẹo socola đen và 4 chiếc kẹo socola trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo đưa cho Bình, rồi lấy tiếp 1 chiếc kẹo nữa đưa cho Bình.
Túi ban đầu có \(6 + 4 = 10\) chiếc kẹo.
- Lần 1 lấy kẹo đen: Xác suất là \(\frac{6}{10}\).
- Lần 2 lấy tiếp kẹo đen: Còn 5 kẹo đen trong 9 chiếc, xác suất là \(\frac{5}{9}\).
Xác suất để cả 2 lần đều lấy kẹo socola đen là:
\[P = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}\]Chọn A.
- Lần 1 lấy kẹo trắng: Xác suất là \(\frac{4}{10}\).
- Lần 2 lấy tiếp kẹo trắng: Còn 3 kẹo trắng trong 9 chiếc, xác suất là \(\frac{3}{9}\).
Xác suất để cả 2 lần đều lấy kẹo socola trắng là:
\[P = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}\]Chọn B.
- Lần 1 lấy kẹo đen: Xác suất là \(\frac{6}{10}\).
- Lần 2 lấy kẹo trắng: Còn 4 kẹo trắng trong 9 chiếc kẹo còn lại, xác suất là \(\frac{4}{9}\).
Xác suất cần tìm là:
\[P = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}\](Ghi chú: Nếu rút gọn tỉ số \(\frac{24}{90} = \frac{4}{15}\), tương ứng phương án C trong một số bảng đán án chuẩn).
Chọn C.
B – TỰ LUẬN
| Kết quả | Dùng thuốc | |
|---|---|---|
| X | Y | |
| Khỏi bệnh | 1 600 | 1 200 |
| Không khỏi bệnh | 800 | 400 |
a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người bệnh đó uống thuốc X.
b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.
Tổng số người thử nghiệm thuốc X là: \(1600 + 800 = 2400\) người.
Tổng số người khỏi bệnh là: \(1600 + 1200 = 2800\) người.
a) Gọi \(A\) là biến cố "Người đó khỏi bệnh", \(X\) là biến cố "Người đó uống thuốc X".
Xác suất khỏi bệnh khi biết đã uống thuốc X là:
\[P(A | X) = \frac{1600}{2400} = \frac{2}{3} \approx 0,6667\]b) Gọi \(Y\) là biến cố "Người đó uống thuốc Y".
Xác suất người bệnh uống thuốc Y khi biết họ đã khỏi bệnh là:
\[P(Y | A) = \frac{1200}{2800} = \frac{3}{7} \approx 0,4286\]a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;
b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;
c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.
Số học sinh học khá ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Vật lí là: \(25 - 1 = 24\) em.
Theo công thức bù trừ, số học sinh học khá cả hai môn Toán và Vật lí là:
\[n(T \cap V) = n(T) + n(V) - n(T \cup V) = 14 + 16 - 24 = 6 \text{ em.}\]a) Học khá cả Toán và Vật lí:
\[P(T \cap V) = \frac{6}{25} = 0,24\]b) Học khá môn Toán nhưng không học khá Vật lí:
Số học sinh chỉ khá Toán là: \(14 - 6 = 8\) em.
\[P(T \cap \overline{V}) = \frac{8}{25} = 0,32\]c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí:
\[P(T | V) = \frac{n(T \cap V)}{n(V)} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0,375\]Khi tung xúc xắc, các mặt chia hết cho 3 là \(\{3, 6\}\) (2 mặt). Mặt không chia hết cho 3 là \(\{1, 2, 4, 5\}\) (4 mặt).
- Xác suất chọn chuồng I: \(P(C_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
- Xác suất chọn chuồng II: \(P(C_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
Gọi \(M\) là biến cố "Bắt được con gà mái".
- Ở chuồng I (có \(5 + 2 = 7\) con): \(P(M | C_1) = \frac{5}{7}\).
- Ở chuồng II (có \(3 + 5 = 8\) con): \(P(M | C_2) = \frac{3}{8}\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất bắt được gà mái là:
\[P(M) = P(C_1) \cdot P(M | C_1) + P(C_2) \cdot P(M | C_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{21} + \frac{1}{4} = \frac{20 + 21}{84} = \frac{41}{84} \approx 0,4881\]Gọi các biến cố:
- \(N\): "Người được tiêm có bệnh nền" \(\Rightarrow P(N) = 0,18\).
- \(\overline{N}\): "Người được tiêm không có bệnh nền" \(\Rightarrow P(\overline{N}) = 1 - 0,18 = 0,82\).
- \(F\): "Người được tiêm có phản ứng phụ".
Theo giả thiết:
\[P(F | N) = 0,35 \quad \text{và} \quad P(F | \overline{N}) = 0,16\]Xác suất toàn phần để một người tiêm vaccine bị phản ứng phụ là:
\[P(F) = P(N) \cdot P(F | N) + P(\overline{N}) \cdot P(F | \overline{N}) = 0,18 \times 0,35 + 0,82 \times 0,16 = 0,063 + 0,1312 = 0,1942\]Theo công thức Bayes, xác suất người có phản ứng phụ là người có bệnh nền là:
\[P(N | F) = \frac{P(N) \cdot P(F | N)}{P(F)} = \frac{0,063}{0,1942} \approx 0,3244 \text{ (hay } 32,44\%\text{)}\]