BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. (Xác suất toàn phần) Ba dây chuyền sản xuất A,B,C chiếm tỉ lệ 30\%, 50\%, 20\% sản lượng. Tỉ lệ lỗi tương ứng là 2\%, 3\%, 5\%. Xác suất một sản phẩm lấy ngẫu nhiên bị lỗi là?
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\[
P(\text{lỗi})=0.3\cdot0.02+0.5\cdot0.03+0.2\cdot0.05=0.006+0.015+0.01=0.031.
\]
Vậy xác suất là \(0.031\) (3.1\%).
Câu 2. (Xác suất toàn phần) Ta chọn ngẫu nhiên một trong hai đồng xu: đồng xu A với \(P(H)=0.7\) được chọn với xác suất 0.6; đồng xu B với \(P(H)=0.4\) được chọn với xác suất 0.4. Xác suất xuất hiện mặt ngửa (H) là?
\[
P(H)=0.6\cdot0.7 + 0.4\cdot0.4 = 0.42 + 0.16 = 0.58.
\]
Câu 3. (Xác suất toàn phần) Có hai hộp: hộp 1 (3 bi đỏ, 2 bi xanh), hộp 2 (1 đỏ, 4 xanh). Chọn hộp 1 với xác suất 0.7, hộp 2 với 0.3. Khi rút 1 bi ngẫu nhiên, xác suất rút được bi đỏ là?
Hộp 1: \(P(\text{đỏ}|H_1)=3/5=0.6\). Hộp 2: \(P(\text{đỏ}|H_2)=1/5=0.2\).
\[
P(\text{đỏ})=0.7\cdot0.6 + 0.3\cdot0.2 = 0.42 + 0.06 = 0.48.
\]
Câu 4. (Bayes) Dùng dữ liệu của Câu 1: nếu một sản phẩm bị lỗi, xác suất nó đến từ dây chuyền C là bao nhiêu?
Áp dụng công thức Bayes:
\[
P(C|\text{lỗi})=\frac{P(C)P(\text{lỗi}|C)}{P(\text{lỗi})}
=\frac{0.2\cdot0.05}{0.031}=\frac{0.01}{0.031}=\frac{10}{31}\approx0.32258.
\]
Câu 5. (Bayes) Dùng dữ liệu của Câu 2: biết kết quả là H, xác suất đã chọn đồng xu A là bao nhiêu?
\[
P(A|H)=\frac{0.6\cdot0.7}{0.58}=\frac{0.42}{0.58}=\frac{21}{29}\approx0.72414.
\]
Câu 6. (Bayes) Dùng dữ liệu của Câu 3: biết rút được bi đỏ, xác suất chọn hộp 1 là bao nhiêu?
\[
P(H_1|\text{đỏ})=\frac{0.7\cdot0.6}{0.48}=\frac{0.42}{0.48}=\frac{7}{8}=0.875.
\]
Câu 7. (THPT) Gieo hai xúc xắc công bằng. Gọi \(A\): "ít nhất một xúc xắc ra 6", \(B\): "tổng ≥ 10". Tính \(P(B|A)\).
Tổng số kết quả: 36.
\(A\) (ít nhất một 6): \(36-25=11\) (bởi không có 6 là \(5\times5=25\)).
\(B\) (tổng ≥10): các tổ hợp (4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6) ⇒ 6 kết quả.
\(B\cap A\) là 5 kết quả (tất cả trừ (5,5)).
Vậy \(P(B|A)=\dfrac{5}{11}.\)
Câu 8. (THPT) Có 5 quả bóng trong hộp: 3 đỏ, 2 xanh. Rút không hoàn lại 2 quả. Biết quả đầu tiên là đỏ. Xác suất cả hai đều đỏ là?
Sau khi biết quả 1 là đỏ, còn lại 2 đỏ và 2 xanh trong 4 quả ⇒
\[
P(\text{quả 2 đỏ}|\text{quả1 đỏ})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
\]
Câu 9. (THPT) Trong một lớp có 4 nữ và 6 nam. Chọn 2 học sinh ngẫu nhiên. Biết có ít nhất một nữ, xác suất cả hai là nữ bằng?
Tổng cách chọn 2: \(C_{10}^2=45\).
Cách chọn 2 nữ: \(C_4^2=6\).
Có ít nhất 1 nữ ⇒ trừ trường hợp 0 nữ: chọn 2 nam \(C_6^2=15\) ⇒ số trường hợp là \(45-15=30\).
\[
P=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}.
\]
Câu 10. (THPT) Monty Hall: Chọn 1 trong 3 cửa, một cửa có giải thưởng. Sau khi chọn, người dẫn mở 1 cửa khác không có giải và hỏi bạn có đổi sang cửa còn lại không. Xác suất thắng nếu bạn đổi là?
Nếu giữ cửa ban đầu: xác suất thắng là \(1/3\).
Nếu đổi: bạn thắng khi ban đầu chọn cửa trống (xác suất \(2/3\)) và người dẫn mở một cửa trống; đổi sẽ dẫn đến cửa có giải ⇒ xác suất thắng khi đổi là \(2/3\).
