CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN & BAYES — 10 BÀI (CÓ MATHJAX)
A. 5 bài áp dụng công thức xác suất toàn phần
Hai nhà máy A, B sản xuất thiết bị: A chiếm 70% sản lượng, B chiếm 30%. Tỉ lệ sản phẩm lỗi: $$P(L|A)=0.01,\ P(L|B)=0.04.$$ Tính xác suất một sản phẩm lấy ngẫu nhiên là lỗi (dùng công thức toàn phần).
Lời giải: $$P(L)=P(L|A)P(A)+P(L|B)P(B)=0.01\times0.7+0.04\times0.3=0.019.$$
Cửa hàng có 3 kênh: web (50%), cửa hàng (30%), điện thoại (20%). Tỉ lệ mua khi tiếp xúc: $$P(M|W)=0.05,\ P(M|S)=0.10,\ P(M|T)=0.08.$$ Tính xác suất một người được tiếp xúc sẽ mua (toàn phần).
Lời giải: $$P(M)=0.5\times0.05+0.3\times0.10+0.2\times0.08=0.071.$$
Một khu vực có 3 nhà cung cấp: X (40%), Y (35%), Z (25%). X có xác suất mất mạng 0.02, Y là 0.03, Z là 0.05. Tính $$P(Mất)$$.
Lời giải: $$P(M)=0.4\times0.02+0.35\times0.03+0.25\times0.05=0.031.$$
Ba lô gô lốp có tỉ lệ xuất hàng: A 50%, B 30%, C 20%. Tỉ lệ lỗi tương ứng: $$0.02,\ 0.05,\ 0.01.$$ Tính $$P(L)=?$$
Lời giải: $$P(L)=0.5\times0.02+0.3\times0.05+0.2\times0.01=0.027.$$
Công ty bảo hiểm phân loại khách hàng: nhóm 1 (30%) rủi ro 0.02, nhóm 2 (50%) rủi ro 0.015, nhóm 3 (20%) rủi ro 0.05. Tính xác suất một khách hàng ngẫu nhiên phát sinh yêu cầu bồi thường.
Lời giải: $$P(YC)=0.3\times0.02+0.5\times0.015+0.2\times0.05=0.0235.$$
B. 5 bài áp dụng định lý Bayes
Xét nghiệm: $$P(+|B)=0.98,\ P(+|B^c)=0.03,\ P(B)=0.01.$$ Tính $$P(B|+).$$
Lời giải: $$P(B|+)=\frac{P(+|B)P(B)}{P(+|B)P(B)+P(+|B^c)P(B^c)}=\frac{0.98\times0.01}{0.98\times0.01+0.03\times0.99}\approx0.249.$$
Có hai nhóm người: A (40%) và B (60%). Tỉ lệ thấy quảng cáo và mua: $$P(M|A)=0.10,\ P(M|B)=0.04.$$ Nếu biết một người mua, xác suất họ thuộc nhóm A?
Lời giải: $$P(A|M)=\frac{P(M|A)P(A)}{P(M)}=\frac{0.1\times0.4}{0.1\times0.4+0.04\times0.6}=0.625.$$
Hai nguồn linh kiện: A (70%) lỗi 1%, B (30%) lỗi 4%. Nếu một sản phẩm lỗi, xác suất nó từ nguồn B?
Lời giải: $$P(B|L)=\frac{P(L|B)P(B)}{P(L)}=\frac{0.04\times0.3}{0.01\times0.7+0.04\times0.3}=0.6316.$$
Hệ thống báo gian lận với $$P(A|F)=0.96,\ P(A|F^c)=0.02,\ P(F)=0.005.$$ Khi có cảnh báo, xác suất thực sự có gian lận?
Lời giải: $$P(F|A)=\frac{0.96\times0.005}{0.96\times0.005+0.02\times0.995}\approx0.194.$$
Bước 1: $$P(+|D)=0.9,\ P(+|D^c)=0.05.$$ Bước 2 (nếu dương): $$P(++|D)=0.95,\ P(++|D^c)=0.02.$$ Với $$P(D)=0.02,$$ tính $$P(D|++).$$
Lời giải: $$P(++|D)=0.9\times0.95=0.855,\ P(++|D^c)=0.05\times0.02=0.001.$$ $$P(D|++)=\frac{0.855\times0.02}{0.855\times0.02+0.001\times0.98}\approx0.946.$$
