Trắc nghiệm Toán 12: Công Thức Xác Suất Toàn Phần và Bayes

Công Thức Xác Suất Toàn Phần Và Công Thức Bayes

Toán 12 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm

Câu 1. Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khẳng định nào sau đây là **công thức xác suất toàn phần**?
Giải thích: Theo công thức xác suất toàn phần đối với nhóm đầy đủ \(\{B, \overline{B}\}\), ta có: \(P(A) = P(B) \cdot P(A\vert{}B) + P(\overline{B}) \cdot P(A\vert{}\overline{B})\).
Câu 2. Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(P(B) > 0\) và \(P(A) > 0\). **Công thức Bayes** dùng để tính xác suất \(P(B\vert{}A)\) là:
Giải thích: Công thức Bayes cho phép đảo chiều điều kiện: \(P(B\vert{}A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(B) \cdot P(A\vert{}B)}{P(A)}\).
Câu 3. Cho \(P(B) = 0,4\); \(P(A\vert{}B) = 0,7\) và \(P(A\vert{}\overline{B}) = 0,2\). Xác suất \(P(A)\) theo công thức xác suất toàn phần bằng:
Giải thích: Vì \(P(B) = 0,4 \Rightarrow P(\overline{B}) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P(A) = P(B) \cdot P(A\vert{}B) + P(\overline{B}) \cdot P(A\vert{}\overline{B}) = 0,4 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,2 = 0,28 + 0,12 = 0,40\).
Câu 4. Cho \(P(B) = 0,3\); \(P(A\vert{}B) = 0,8\) và \(P(A\vert{}\overline{B}) = 0,4\). Giá trị của xác suất có điều kiện \(P(B\vert{}A)\) bằng:
Giải thích:
- \(P(\overline{B}) = 1 - 0,3 = 0,7\).
- Bằng công thức xác suất toàn phần: \(P(A) = 0,3 \cdot 0,8 + 0,7 \cdot 0,4 = 0,24 + 0,28 = 0,52\).
- Áp dụng công thức Bayes: \(P(B\vert{}A) = \frac{P(B) \cdot P(A\vert{}B)}{P(A)} = \frac{0,24}{0,52} = \frac{24}{52} = \frac{6}{13}\).
Câu 5. Một lô hàng gồm các sản phẩm do hai xưởng sản xuất: Xưởng I cung cấp \(60\%\) số sản phẩm, Xưởng II cung cấp \(40\%\). Tỷ lệ phế phẩm của Xưởng I là \(2\%\), của Xưởng II là \(3\%\). Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng. Xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm bằng:
Giải thích:
- Gọi \(B_1\) là biến cố sản phẩm do Xưởng I sản xuất \(\Rightarrow P(B_1) = 0,6\).
- Gọi \(B_2\) là biến cố sản phẩm do Xưởng II sản xuất \(\Rightarrow P(B_2) = 0,4\).
- Gọi \(A\) là biến cố chọn được phế phẩm \(\Rightarrow P(A\vert{}B_1) = 0,02\); \(P(A\vert{}B_2) = 0,03\).
- Áp dụng công thức xác suất toàn phần: \(P(A) = 0,6 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,03 = 0,012 + 0,012 = 0,024\).
Câu 6. Tiếp tục với bài toán ở **Câu 5**, nếu chọn được 1 phế phẩm từ lô hàng, xác suất để phế phẩm đó do Xưởng I sản xuất là:
Giải thích:
Cần tính \(P(B_1\vert{}A)\). Áp dụng công thức Bayes:
\(P(B_1\vert{}A) = \frac{P(B_1) \cdot P(A\vert{}B_1)}{P(A)} = \frac{0,6 \cdot 0,02}{0,024} = \frac{0,012}{0,024} = 0,5\).
Câu 7. Cho ba hộp giống nhau: Hộp 1 có 3 bi đỏ và 2 bi xanh; Hộp 2 có 2 bi đỏ và 3 bi xanh; Hộp 3 có 4 bi đỏ và 1 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó chọn ra 1 viên bi. Xác suất để viên bi lấy ra màu đỏ là:
Giải thích:
- Gọi \(H_1, H_2, H_3\) là biến cố chọn được Hộp 1, 2, 3 \(\Rightarrow P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}\).
- Gọi \(A\) là biến cố lấy được bi đỏ \(\Rightarrow P(A\vert{}H_1) = \frac{3}{5}\); \(P(A\vert{}H_2) = \frac{2}{5}\); \(P(A\vert{}H_3) = \frac{4}{5}\).
- Theo công thức xác suất toàn phần:
\(P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3+2+4}{5}\right) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\).
Câu 8. Tỷ lệ mắc bệnh X trong cộng đồng là \(2\%\). Một xét nghiệm Y có độ nhạy là \(90\%\) (tức là người có bệnh thì xét nghiệm báo dương tính với xác suất \(0,9\)) và độ đặc hiệu là \(95\%\) (tức là người không mắc bệnh thì xét nghiệm báo âm tính với xác suất \(0,95\)). Xác suất một người ngẫu nhiên xét nghiệm cho kết quả dương tính là:
Giải thích:
- Gọi \(B\) là biến cố mắc bệnh \(\Rightarrow P(B) = 0,02 \Rightarrow P(\overline{B}) = 0,98\).
- Gọi \(D\) là biến cố xét nghiệm dương tính \(\Rightarrow P(D\vert{}B) = 0,9\).
- Vì độ đặc hiệu là \(0,95\) nên xác suất dương tính giả khi không mắc bệnh là \(P(D\vert{}\overline{B}) = 1 - 0,95 = 0,05\).
- Xác suất xét nghiệm dương tính toàn phần:
\(P(D) = P(B) \cdot P(D\vert{}B) + P(\overline{B}) \cdot P(D\vert{}\overline{B}) = 0,02 \cdot 0,9 + 0,98 \cdot 0,05 = 0,018 + 0,049 = 0,067\).
Câu 9. Một sinh viên làm bài thi trắc nghiệm gồm các câu hỏi 4 phương án (chỉ có 1 phương án đúng). Xác suất sinh viên đó thuộc bài là \(0,7\). Nếu thuộc bài, sinh viên chọn đúng phương án; nếu không thuộc bài, sinh viên khoanh ngẫu nhiên. Biết sinh viên trả lời đúng một câu hỏi, xác suất sinh viên đó thực sự thuộc bài là:
Giải thích:
- Gọi \(T\) là biến cố thuộc bài \(\Rightarrow P(T) = 0,7 \Rightarrow P(\overline{T}) = 0,3\).
- Gọi \(D\) là biến cố chọn đúng \(\Rightarrow P(D\vert{}T) = 1\); \(P(D\vert{}\overline{T}) = \frac{1}{4} = 0,25\).
- Xác suất chọn đúng: \(P(D) = 0,7 \cdot 1 + 0,3 \cdot 0,25 = 0,7 + 0,075 = 0,775\).
- Xác suất thuộc bài khi đã trả lời đúng (công thức Bayes):
\(P(T\vert{}D) = \frac{P(T) \cdot P(D\vert{}T)}{P(D)} = \frac{0,7}{0,775} = \frac{700}{775} = \frac{28}{31}\).
Câu 10 Thực tế. Trong lĩnh vực ngân hàng, một hệ thống AI được triển khai để tự động duyệt hồ sơ vay vốn. Thống kê dữ liệu quá khứ cho thấy có \(10\%\) khách hàng thuộc nhóm "rủi ro nợ xấu". Khi phân tích hồ sơ, hệ thống AI đưa ra cảnh báo "Nguy cơ cao" đối với \(80\%\) số khách hàng thực sự thuộc nhóm rủi ro nợ xấu, nhưng cũng phát cảnh báo nhầm (dương tính giả) đối với \(5\%\) số khách hàng uy tín (không thuộc nhóm nợ xấu). Nếu hệ thống AI vừa phát cảnh báo "Nguy cơ cao" cho một hồ sơ mới nộp, xác suất thực sự khách hàng này thuộc nhóm nợ xấu là bao nhiêu?
Giải thích:
- Gọi \(N\) là biến cố "Khách hàng thuộc nhóm rủi ro nợ xấu" \(\Rightarrow P(N) = 0,10\).
- Suy ra khách hàng uy tín \(P(\overline{N}) = 1 - 0,10 = 0,90\).
- Gọi \(C\) là biến cố "Hệ thống AI phát cảnh báo Nguy cơ cao".
- Theo đề bài: \(P(C\vert{}N) = 0,80\) và \(P(C\vert{}\overline{N}) = 0,05\).
- Xác suất AI phát cảnh báo "Nguy cơ cao" trên toàn bộ tập khách hàng (công thức xác suất toàn phần):
\(P(C) = P(N) \cdot P(C\vert{}N) + P(\overline{N}) \cdot P(C\vert{}\overline{N}) = 0,10 \cdot 0,80 + 0,90 \cdot 0,05 = 0,08 + 0,045 = 0,125\) (\(12,5\%\)).
- Áp dụng công thức Bayes để tìm xác suất thực sự khách hàng bị nợ xấu khi đã bị AI cảnh báo:
\(P(N\vert{}C) = \frac{P(N) \cdot P(C\vert{}N)}{P(C)} = \frac{0,08}{0,125} = 0,64 = 64\%\).

Kết quả