📊 BÀI HỌC TOÁN 12: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương VI)
1. Hệ đầy đủ các biến cố
Hệ gồm \(n\) biến cố \(A_1, A_2, \dots, A_n\) được gọi là hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn hai điều kiện:
- Đôi một xung khắc: \(A_i \cap A_j = \emptyset\) với mọi \(i \neq j\).
- Tổng các biến cố bằng không gian mẫu: \(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega\).
Với mọi biến cố \(A\) bất kỳ có \(0 < P(A) < 1\), cặp biến cố gồm \(A\) và biến cố đối \(\overline{A}\) luôn tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố vì:
\[ A \cap \overline{A} = \emptyset \quad \text{và} \quad A \cup \overline{A} = \Omega \]2. Công thức xác suất toàn phần
Cho \(A_1, A_2, \dots, A_n\) là một hệ đầy đủ các biến cố có xác suất dương (\(P(A_i) > 0\)). Khi đó, với một biến cố \(B\) bất kỳ, ta có công thức xác suất toàn phần:
\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + \dots + P(A_n) \cdot P(B|A_n) \] \[ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i) \]3. Công thức Bayes
Cho \(A_1, A_2, \dots, A_n\) là một hệ đầy đủ các biến cố với \(P(A_i) > 0\) và biến cố \(B\) thỏa mãn \(P(B) > 0\). Với mỗi \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\), xác suất điều kiện của \(A_k\) khi biết \(B\) đã xảy ra được tính bởi:
\[ P(A_k|B) = \displaystyle\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{P(B)} \]Thay \(P(B)\) từ công thức xác suất toàn phần vào mẫu số, ta có dạng đầy đủ:
\[ P(A_k|B) = \displaystyle\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)} \]4. Ứng dụng sơ đồ cây để tính xác suất
Sơ đồ cây giúp trực quan hóa toàn bộ quá trình áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes trong bài toán thực tế.
- Bước 1 (Nhánh bậc 1): Chia các trường hợp nguyên nhân tạo thành hệ đầy đủ \(A_1, A_2, \dots, A_n\). Điền các xác suất \(P(A_i)\).
- Bước 2 (Nhánh bậc 2): Từ mỗi \(A_i\), vẽ nhánh dẫn tới biến cố kết quả \(B\). Điền các xác suất có điều kiện \(P(B|A_i)\).
- Bước 3 (Tính xác suất các đường đi): Nhân xác suất trên từng nhánh dọc để được \(P(A_i \cap B) = P(A_i) \cdot P(B|A_i)\).
- Bước 4 (Áp dụng công thức):
- Tính \(P(B)\): Cộng tất cả kết quả ở Bước 3 (Xác suất toàn phần).
- Tính \(P(A_k|B)\): Lấy giá trị của đường đi thứ \(k\) chia cho tổng \(P(B)\) (Công thức Bayes).
5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Một nhà máy có 2 xưởng sản xuất thiết bị điện tử. Xưởng I sản xuất \(60\%\) tổng số thiết bị, xưởng II sản xuất \(40\%\). Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của xưởng I là \(2\%\), của xưởng II là \(5\%\). Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất sản phẩm đó bị lỗi.
Gọi các biến cố:
• \(A_1\): "Sản phẩm do xưởng I sản xuất" \(\Rightarrow P(A_1) = 0,6\).
• \(A_2\): "Sản phẩm do xưởng II sản xuất" \(\Rightarrow P(A_2) = 0,4\).
Dễ thấy \(\{A_1, A_2\}\) là một hệ đầy đủ các biến cố.
• \(B\): "Sản phẩm bị lỗi".
Theo giả thiết:
• Xác suất sản phẩm lỗi nếu do xưởng I sản xuất: \(P(B|A_1) = 2\% = 0,02\).
• Xác suất sản phẩm lỗi nếu do xưởng II sản xuất: \(P(B|A_2) = 5\% = 0,05\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) \] \[ P(B) = 0,6 \cdot 0,02 + 0,4 \cdot 0,05 = 0,012 + 0,020 = 0,032 \text{ (hay } 3,2\%\text{)} \]Sử dụng tiếp dữ liệu của Ví dụ 1: Giả sử sản phẩm được chọn ra kiểm tra là sản phẩm bị lỗi. Tính xác suất để sản phẩm lỗi đó là do xưởng I sản xuất.
Cần tính xác suất có điều kiện \(P(A_1|B)\) (xác suất xưởng I sản xuất biết sản phẩm đã bị lỗi).
Theo Ví dụ 1, ta đã có:
• \(P(A_1) \cdot P(B|A_1) = 0,6 \cdot 0,02 = 0,012\)
• \(P(B) = 0,032\)
Áp dụng công thức Bayes:
\[ P(A_1|B) = \displaystyle\frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} = \displaystyle\frac{0,012}{0,032} = \displaystyle\frac{12}{32} = \displaystyle\frac{3}{8} = 0,375 \text{ (hay } 37,5\%\text{)} \]Tỷ lệ mắc bệnh X trong một vùng dân cư là \(1\%\). Một bài xét nghiệm chẩn đoán bệnh X có độ chính xác như sau: Nếu người mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả DƯƠNG TÍNH với xác suất \(98\%\). Nếu người không mắc bệnh, xét nghiệm vẫn cho kết quả DƯƠNG TÍNH giả với xác suất \(2\%\). Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng và làm xét nghiệm, người đó có kết quả DƯƠNG TÍNH. Tính xác suất thực sự người đó mắc bệnh X.
Gọi biến cố:
• \(A\): "Người được chọn mắc bệnh X" \(\Rightarrow P(A) = 0,01\).
• \(\overline{A}\): "Người được chọn không mắc bệnh X" \(\Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,01 = 0,99\).
• \(B\): "Xét nghiệm cho kết quả DƯƠNG TÍNH".
Theo bài ra: \(P(B|A) = 0,98\) và \(P(B|\overline{A}) = 0,02\).
Bước 1: Tính xác suất kết quả xét nghiệm Dương tính \(P(B)\) theo công thức xác suất toàn phần:
\[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \] \[ P(B) = 0,01 \cdot 0,98 + 0,99 \cdot 0,02 = 0,0098 + 0,0198 = 0,0296 \]Bước 2: Tính xác suất mắc bệnh khi biết kết quả Dương tính \(P(A|B)\) bằng công thức Bayes:
\[ P(A|B) = \displaystyle\frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \displaystyle\frac{0,0098}{0,0296} = \displaystyle\frac{98}{296} \approx 0,3311 \text{ (hay } 33,11\%\text{)} \]Nhận xét: Mặc dù xét nghiệm có độ chính xác cao (\(98\%\)), nhưng do căn bệnh hiếm gặp (\(1\%\)), nên khi nhận kết quả dương tính, xác suất thực sự mắc bệnh cũng chỉ khoảng \(33,11\%\).
6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Tên Công Thức | Biểu Thức Toán Học | Mục Đích Sử Dụng |
|---|---|---|
| Hệ đầy đủ | \(A_1 \cup \dots \cup A_n = \Omega\), \(A_i \cap A_j = \emptyset\) | Phân chia bài toán thành các trường hợp nhỏ độc lập |
| Xác suất toàn phần | \(P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)\) | Tính xác suất của biến cố kết quả \(B\) từ các nguyên nhân |
| Công thức Bayes | \(P(A_k|B) = \displaystyle\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{P(B)}\) | Tìm xác suất của nguyên nhân \(A_k\) khi đã biết kết quả \(B\) |
Bài 1: Có hai hộp đựng bi. Hộp I gồm 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Hộp II gồm 7 bi đỏ và 3 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.
a) Tính xác suất viên bi lấy ra có màu đỏ.
b) Biết viên bi lấy ra có màu đỏ, tính xác suất viên bi đó được lấy từ Hộp I.
Bài 2: Một nông trường trồng hai giống lúa A và B. Giống A chiếm \(70\%\) diện tích, giống B chiếm \(30\%\) diện tích. Tỷ lệ nhiễm bệnh của giống A là \(5\%\), của giống B là \(10\%\).
a) Chọn ngẫu nhiên một khóm lúa trên nông trường, tính xác suất khóm lúa đó bị nhiễm bệnh.
b) Nếu thấy khóm lúa được chọn bị nhiễm bệnh, tính xác suất khóm lúa đó thuộc giống B.
Bài 3: Tại một ngân hàng, \(80\%\) khách hàng vay vốn là khách hàng uy tín (khả năng trả nợ đúng hạn là \(95\%\)), còn \(20\%\) là khách hàng rủi ro (khả năng trả nợ đúng hạn chỉ là \(50\%\)).
a) Chọn ngẫu nhiên một khách hàng vay vốn, tính xác suất khách hàng này trả nợ đúng hạn.
b) Nếu một khách hàng trả nợ đúng hạn, tính xác suất người đó thuộc nhóm khách hàng uy tín.