BÀI 19: CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
Xét phương án tác chiến sau: Nếu máy bay xuất hiện tại \(X\) thì bắn 2 quả tên lửa và nếu máy bay xuất hiện tại \(Y\) thì bắn 1 quả tên lửa.
Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất bắn hạ máy bay đối phương trong phương án tác chiến nêu trên.
Gọi các biến cố:
- \(A\): "Máy bay xuất hiện ở vị trí \(X\)" \(\Rightarrow P(A) = 0,55\).
- \(\overline{A}\): "Máy bay xuất hiện ở vị trí \(Y\)" \(\Rightarrow P(\overline{A}) = 1 - 0,55 = 0,45\).
- \(H\): "Máy bay bị bắn hạ".
- Trường hợp 1: Máy bay xuất hiện tại \(X\) (biến cố \(A\)):
Bắn 2 quả tên lửa độc lập, xác suất mỗi quả hụt là \(1 - 0,8 = 0,2\).
Máy bay bị hạ nếu trúng ít nhất 1 quả, xác suất cả 2 quả cùng trượt là \(0,2 \times 0,2 = 0,04\).
Do đó, xác suất máy bay bị bắn hạ khi xuất hiện tại \(X\) là:
\[P(H | A) = 1 - 0,04 = 0,96\]- Trường hợp 2: Máy bay xuất hiện tại \(Y\) (biến cố \(\overline{A}\)):
Bắn 1 quả tên lửa. Xác suất máy bay bị bắn hạ khi xuất hiện tại \(Y\) là:
\[P(H | \overline{A}) = 0,8\]Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất bắn hạ máy bay đối phương là:
\[P(H) = P(A) \cdot P(H | A) + P(\overline{A}) \cdot P(H | \overline{A})\] \[P(H) = 0,55 \times 0,96 + 0,45 \times 0,8 = 0,528 + 0,36 = 0,888\]Vậy xác suất bắn hạ máy bay là 0,888 (hay 88,8%).
Chuồng II ban đầu có \(7 + 3 = 10\) con thỏ. Gọi các biến cố:
- \(B_1\): "Con thỏ lấy từ chuồng II sang chuồng I là thỏ đen" \(\Rightarrow P(B_1) = \frac{7}{10} = 0,7\).
- \(B_2\): "Con thỏ lấy từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng" \(\Rightarrow P(B_2) = \frac{3}{10} = 0,3\).
- \(T\): "Con thỏ lấy ra từ chuồng I ở lần hai là thỏ trắng".
Chuồng I ban đầu có 5 thỏ đen và 10 thỏ trắng (tổng 15 con). Sau khi nhận 1 con từ chuồng II, chuồng I có tổng cộng 16 con.
- Nếu \(B_1\) xảy ra (chuyển 1 thỏ đen), chuồng I có 6 thỏ đen và 10 thỏ trắng: \[P(T | B_1) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}\]
- Nếu \(B_2\) xảy ra (chuyển 1 thỏ trắng), chuồng I có 5 thỏ đen và 11 thỏ trắng: \[P(T | B_2) = \frac{11}{16}\]
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất lấy được thỏ trắng từ chuồng I là:
\[P(T) = P(B_1) \cdot P(T | B_1) + P(B_2) \cdot P(T | B_2)\] \[P(T) = 0,7 \times \frac{10}{16} + 0,3 \times \frac{11}{16} = \frac{7 + 3,3}{16} = \frac{10,3}{16} = \frac{103}{160} = 0,64375\]a) Tính xác suất để linh kiện điện tử đó được đóng dấu OTK.
b) Dùng sơ đồ hình cây, hãy mô tả cách tính xác suất để linh kiện điện tử được chọn không được đóng dấu OTK.
Gọi các biến cố:
- \(T\): "Linh kiện điện tử đạt tiêu chuẩn" \(\Rightarrow P(T) = 0,8\).
- \(\overline{T}\): "Linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn" \(\Rightarrow P(\overline{T}) = 1 - 0,8 = 0,2\).
- \(K\): "Linh kiện điện tử được đóng dấu OTK".
Theo giả thiết:
- \(P(K | T) = 0,99 \Rightarrow P(\overline{K} | T) = 0,01\)
- \(P(\overline{K} | \overline{T}) = 0,95 \Rightarrow P(K | \overline{T}) = 1 - 0,95 = 0,05\)
a) Tính xác suất linh kiện được đóng dấu OTK (\(P(K)\)):
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\[P(K) = P(T) \cdot P(K | T) + P(\overline{T}) \cdot P(K | \overline{T})\] \[P(K) = 0,8 \times 0,99 + 0,2 \times 0,05 = 0,792 + 0,010 = 0,802\]b) Sử dụng sơ đồ hình cây tính xác suất không được đóng dấu OTK (\(P(\overline{K})\)):
Tóm tắt nhánh sơ đồ cây:
- Nhánh 1: Sản phẩm đạt tiêu chuẩn (\(0,8\)) \(\rightarrow\) Không được đóng dấu OTK (\(0,01\))
\(\Rightarrow P(T \cap \overline{K}) = 0,8 \times 0,01 = 0,008\) - Nhánh 2: Sản phẩm không đạt tiêu chuẩn (\(0,2\)) \(\rightarrow\) Không được đóng dấu OTK (\(0,95\))
\(\Rightarrow P(\overline{T} \cap \overline{K}) = 0,2 \times 0,95 = 0,190\)
Cộng xác suất hai nhánh thu được:
\[P(\overline{K}) = 0,008 + 0,190 = 0,198 \quad (\text{hoặc } 1 - P(K) = 1 - 0,802 = 0,198)\]a) Tính xác suất để vận động viên này đạt huy chương vàng;
b) Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Tính xác suất để vận động viên này thuộc đội I.
Tổng số vận động viên là \(5 + 7 = 12\). Gọi các biến cố:
- \(D_1\): "Vận động viên được chọn thuộc đội I" \(\Rightarrow P(D_1) = \frac{5}{12}\).
- \(D_2\): "Vận động viên được chọn thuộc đội II" \(\Rightarrow P(D_2) = \frac{7}{12}\).
- \(V\): "Vận động viên chọn ra đạt huy chương vàng".
Theo bài ra: \(P(V | D_1) = 0,65\) và \(P(V | D_2) = 0,55\).
a) Xác suất vận động viên chọn ra đạt huy chương vàng (\(P(V)\)):
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\[P(V) = P(D_1) \cdot P(V | D_1) + P(D_2) \cdot P(V | D_2)\] \[P(V) = \frac{5}{12} \times 0,65 + \frac{7}{12} \times 0,55 = \frac{3,25 + 3,85}{12} = \frac{7,1}{12} = \frac{71}{120} \approx 0,5917\]b) Xác suất vận động viên thuộc đội I biết đã đạt HCV (\(P(D_1 | V)\)):
Áp dụng công thức Bayes:
\[P(D_1 | V) = \frac{P(D_1) \cdot P(V | D_1)}{P(V)} = \frac{\frac{5}{12} \times 0,65}{\frac{71}{120}} = \frac{3,25}{12} \times \frac{120}{71} = \frac{32,5}{71} = \frac{65}{142} \approx 0,4577\]a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.
b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.
c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?
Gọi các biến cố:
- \(R\): "Thư được chọn là thư rác" \(\Rightarrow P(R) = 0,03\).
- \(\overline{R}\): "Thư được chọn là thư đúng" \(\Rightarrow P(\overline{R}) = 1 - 0,03 = 0,97\).
- \(C\): "Thư bị bộ lọc chặn".
Theo giả thiết:
- \(P(C | R) = 0,95 \Rightarrow P(\overline{C} | R) = 0,05\)
- \(P(C | \overline{R}) = 0,01 \Rightarrow P(\overline{C} | \overline{R}) = 0,99\)
Tính các xác suất toàn phần \(P(C)\) và \(P(\overline{C})\):
\[P(C) = P(R) \cdot P(C | R) + P(\overline{R}) \cdot P(C | \overline{R}) = 0,03 \times 0,95 + 0,97 \times 0,01 = 0,0285 + 0,0097 = 0,0382\] \[P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,0382 = 0,9618\]a) Xác suất thư bị chặn là thư rác (\(P(R | C)\)):
Áp dụng công thức Bayes:
\[P(R | C) = \frac{P(R) \cdot P(C | R)}{P(C)} = \frac{0,03 \times 0,95}{0,0382} = \frac{0,0285}{0,0382} \approx 0,7461 \text{ (hay 74,61%)}\]b) Xác suất thư không bị chặn là thư đúng (\(P(\overline{R} | \overline{C})\)):
Áp dụng công thức Bayes:
\[P(\overline{R} | \overline{C}) = \frac{P(\overline{R}) \cdot P(\overline{C} | \overline{R})}{P(\overline{C})} = \frac{0,97 \times 0,99}{0,9618} = \frac{0,9603}{0,9618} \approx 0,9984 \text{ (hay 99,84%)}\]c) Tính các phần trăm theo yêu cầu:
- Trong số các thư bị chặn, tỉ lệ phần trăm là thư đúng là: \[P(\overline{R} | C) = 1 - P(R | C) \approx 1 - 0,7461 = 0,2539 \Rightarrow \mathbf{25,39\%}\]
- Trong số các thư không bị chặn, tỉ lệ phần trăm là thư rác là: \[P(R | \overline{C}) = 1 - P(\overline{R} | \overline{C}) \approx 1 - 0,9984 = 0,0016 \Rightarrow \mathbf{0,16\%}\]