Chương VI - Bài: Xác suất có điều kiện

Giải thích: Theo định nghĩa SGK Toán 12 (Kết Nối Tri Thức), xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được tính bởi công thức \(P(A\vert{}B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\) với \(P(B) > 0\).

Giải thích: Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện:
\(P(A\vert{}B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4\).

Giải thích: Sử dụng công thức nhân xác suất:
\(P(AB) = P(A) \cdot P(B\vert{}A) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 = 0{,}18\).

Giải thích: Không gian mẫu \(\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\).
- Biến cố \(B = \{4; 5; 6\} \Rightarrow n(B) = 3\).
- Biến cố \(A = \{2; 4; 6\}\).
- Biến cố giao \(AB = A \cap B = \{4; 6\} \Rightarrow n(AB) = 2\).
Do đó, \(P(A\vert{}B) = \frac{n(AB)}{n(B)} = \frac{2}{3}\).

Giải thích: Gọi \(T\) là biến cố "Học sinh thích môn Toán", \(V\) là biến cố "Học sinh thích môn Văn".
Ta có số học sinh thích Văn là \(n(V) = 20\), số học sinh thích cả hai môn là \(n(TV) = 10\).
Xác suất cần tìm là \(P(T\vert{}V) = \frac{n(TV)}{n(V)} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\).

Giải thích: Vì hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập nên việc biến cố \(B\) xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố \(A\).
Do đó, \(P(A\vert{}B) = P(A) = 0{,}7\).
(Hoặc tính theo công thức: \(P(A\vert{}B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A) = 0{,}7\)).

Giải thích: Ban đầu hộp có \(5 + 3 = 8\) quả cầu.
Vì quả cầu lấy ra ở lần thứ nhất là màu đỏ và không hoàn lại, nên trong hộp lúc này còn lại 7 quả cầu, gồm 4 quả màu đỏ và 3 quả màu xanh.
Xác suất để lần thứ hai lấy được quả màu xanh trong điều kiện này là \(\frac{3}{7}\).

Giải thích: Áp dụng công thức cộng xác suất:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \Rightarrow P(AB) = 0{,}5 + 0{,}6 - 0{,}8 = 0{,}3\).
Xác suất có điều kiện cần tìm là:
\(P(B\vert{}A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6\).

Giải thích: Nếu \(A \subset B\) thì khi biến cố \(A\) xảy ra, biến cố \(B\) chắc chắn cũng xảy ra. Do đó \(AB = A\).
Khi đó \(P(B\vert{}A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{P(A)}{P(A)} = 1\). Mệnh đề C đúng.

Giải thích:
Gọi \(B\) là biến cố "Người đó bị bệnh" \(\Rightarrow P(B) = 0{,}01\) và \(P(\overline{B}) = 0{,}99\).
Gọi \(D\) là biến cố "Kết quả xét nghiệm dương tính".
- Với người bị bệnh: \(P(D\vert{}B) = 0{,}95\).
- Với người không bị bệnh, xác suất dương tính giả là \(P(D\vert{}\overline{B}) = 1 - 0{,}90 = 0{,}10\).
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
\(P(D) = P(B) \cdot P(D\vert{}B) + P(\overline{B}) \cdot P(D\vert{}\overline{B}) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}10 = 0{,}0095 + 0{,}099 = 0{,}1085\).
Xác suất người xét nghiệm dương tính thực sự mắc bệnh là \(P(B\vert{}D)\):
\(P(B\vert{}D) = \frac{P(BD)}{P(D)} = \frac{0{,}0095}{0{,}1085} \approx 0{,}087557 \approx 8{,}76\%\).