🎲 BÀI HỌC TOÁN 12: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương VI)
1. Khái niệm Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) liên quan đến cùng một phép thử, với \(P(B) > 0\).
Xác suất để biến cố \(A\) xảy ra với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được gọi là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), ký hiệu là \(P(A|B)\).
Trong đó:
- \(P(AB)\) là xác suất để cả hai biến cố \(A\) và \(B\) đồng thời xảy ra.
- \(P(B)\) là xác suất xảy ra biến cố điều kiện \(B\).
Nếu không gian mẫu \(\Omega\) gồm các kết quả đồng khả năng, ta có thể tính theo số phần tử:
\[ P(A|B) = \displaystyle\frac{n(AB)}{n(B)} \]Ý nghĩa: Khi biết \(B\) đã xảy ra, không gian mẫu được thu hẹp lại thành biến cố \(B\).
2. Công thức nhân xác suất
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta suy ra công thức tính xác suất của biến cố giao \(AB\):
\[ P(AB) = P(B) \cdot P(A|B) \]Tương tự, nếu \(P(A) > 0\), ta cũng có:
\[ P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) \]Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau, việc biến cố này xảy ra hay không không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra biến cố kia:
\[ P(A|B) = P(A) \quad \text{và} \quad P(B|A) = P(B) \]Khi đó công thức nhân xác suất trở thành: \(P(AB) = P(A) \cdot P(B)\).
3. Tính xác suất bằng bảng thống kê hai chiều
Bảng thống kê 2 chiều thường được dùng khi phân loại đối tượng theo 2 tiêu chí. Giúp dễ dàng xác định số phần tử \(n(B)\) và \(n(AB)\).
| Tiêu chí | Biến cố \(B\) | Biến cố \(\overline{B}\) | Tổng |
|---|---|---|---|
| Biến cố \(A\) | \(n(AB)\) | \(n(A\overline{B})\) | \(n(A)\) |
| Biến cố \(\overline{A}\) | \(n(\overline{A}B)\) | \(n(\overline{A}\overline{B})\) | \(n(\overline{A})\) |
| Tổng | \(n(B)\) | \(n(\overline{B})\) | \(N\) (Tổng số) |
• Để tính \(P(A|B)\): Dùng dòng/cột tương ứng với \(B\) làm tổng số, lấy ô giao giữa \(A\) và \(B\) chia cho tổng cột \(B\): \(P(A|B) = \displaystyle\frac{n(AB)}{n(B)}\).
4. Tính xác suất bằng sơ đồ cây
Sơ đồ cây rất hiệu quả khi phép thử trải qua nhiều giai đoạn nối tiếp nhau (hoặc bài toán thực hiện qua 2 bước liên tiếp).
- Trên mỗi nhánh: Ghi xác suất tương ứng. Nhánh ở bước 2 chính là xác suất có điều kiện!
- Quy tắc nhân (Theo chiều dọc nhánh): Xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất trên các nhánh của đường đi đó.
- Quy tắc cộng (Gộp các nhánh): Xác suất của một biến cố là tổng xác suất của các đường đi dẫn đến biến cố đó.
• Bước 1 chia 2 nhánh: \(B\) (xác suất \(P(B)\)) và \(\overline{B}\) (xác suất \(P(\overline{B})\)).
• Từ nhánh \(B\) tách ra nhánh \(A\): Giá trị trên nhánh này chính là \(P(A|B)\).
• Tích trên toàn nhánh tới \(A\): \(P(AB) = P(B) \cdot P(A|B)\).
5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Cho biết thẻ rút được ghi số lớn hơn 3. Tính xác suất để thẻ đó ghi số chẵn.
Gọi biến cố:
• \(B\): "Thẻ rút được ghi số lớn hơn 3". Mẫu thu hẹp: \(B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \Rightarrow n(B) = 7\).
• \(A\): "Thẻ rút được ghi số chẵn".
Các số chẵn trong \(B\) là biến cố giao \(AB = \{4, 6, 8, 10\} \Rightarrow n(AB) = 4\).
Xác suất cần tìm là xác suất rút được số chẵn với điều kiện số đó lớn hơn 3:
\[ P(A|B) = \displaystyle\frac{n(AB)}{n(B)} = \displaystyle\frac{4}{7} \]Khảo sát 100 học sinh khối 12 về việc học môn tự chọn thu được kết quả:
- Có 60 học sinh học Tin học, trong đó có 35 học sinh nam.
- Có 40 học sinh không học Tin học, trong đó có 15 học sinh nam.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất chọn được học sinh nam, biết rằng học sinh đó học Tin học.
Lập bảng thống kê 2 chiều:
| Giới tính | Học Tin học (\(B\)) | Không học Tin (\(\overline{B}\)) | Tổng |
|---|---|---|---|
| Nam (\(A\)) | 35 | 15 | 50 |
| Nữ (\(\overline{A}\)) | 25 | 25 | 50 |
| Tổng | 60 | 40 | 100 |
Gọi \(A\) là biến cố "Chọn được học sinh nam", \(B\) là biến cố "Học sinh đó học Tin học".
Dựa vào bảng: Số học sinh học Tin học \(n(B) = 60\). Số học sinh nam học Tin học \(n(AB) = 35\).
\[ P(A|B) = \displaystyle\frac{n(AB)}{n(B)} = \displaystyle\frac{35}{60} = \displaystyle\frac{7}{12} \approx 0,5833 \]Một hộp có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng viên bi (lấy không hoàn lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi đỏ, biết lần thứ nhất đã lấy được bi xanh.
Gọi biến cố:
• \(A\): "Lần 1 lấy được bi xanh".
• \(B\): "Lần 2 lấy được bi đỏ".
Khi lần 1 lấy được bi xanh, trong hộp còn lại 8 viên bi (4 xanh và 4 đỏ).
Xác suất lấy được bi đỏ ở lần 2 với điều kiện lần 1 đã lấy bi xanh là:
\[ P(B|A) = \displaystyle\frac{4}{8} = \displaystyle\frac{1}{2} \]6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Công Thức / Khái Niệm | Biểu Thức Toán Học | Phạm Vi / Điều Kiện Áp Dụng |
|---|---|---|
| Xác suất có điều kiện | \(P(A|B) = \displaystyle\frac{P(AB)}{P(B)}\) | \(P(B) > 0\) |
| Đồng khả năng | \(P(A|B) = \displaystyle\frac{n(AB)}{n(B)}\) | Thu hẹp không gian mẫu về \(B\) |
| Công thức nhân xác suất | \(P(AB) = P(B) \cdot P(A|B)\) | Mọi biến cố \(A, B\) |
| Biến cố độc lập | \(P(A|B) = P(A)\) | \(A, B\) độc lập nhau |
Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn. Tính xác suất để mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 3.
Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh thích môn Toán, 20 học sinh thích môn Văn và 10 học sinh thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết học sinh đó thích môn Văn, tính xác suất học sinh đó cũng thích môn Toán.
Bài 3: Tỷ lệ người dân nhiễm một loại vi-rút trong cộng đồng là \(2\%\). Một bài kiểm tra y tế có độ chính xác như sau: Nếu người mắc bệnh, bài kiểm tra cho kết quả dương tính với xác suất \(95\%\). Chọn ngẫu nhiên một người bị nhiễm vi-rút. Tính xác suất người đó có kết quả kiểm tra dương tính.
Bài 4 (Thực tế): Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất sản phẩm. Dây chuyền I sản xuất \(60\%\) tổng số sản phẩm, dây chuyền II sản xuất \(40\%\). Tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền I là \(2\%\), của dây chuyền II là \(3\%\). Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.
a) Tính xác suất sản phẩm được chọn là phế phẩm do dây chuyền I sản xuất.
b) Biết sản phẩm chọn ra là phế phẩm, tính xác suất phế phẩm đó do dây chuyền I sản xuất.