BÀI 18: XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
(TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
Gọi \(A\) là biến cố "Thẻ rút ra mang số 10" và \(B\) là biến cố "Thẻ rút ra mang số chẵn".
Các thẻ mang số chẵn trong hộp là các số \(\{2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20\}\), gồm 10 thẻ. Do đó \(n(B) = 10\).
Khi biến cố \(B\) xảy ra, khả năng rút được mỗi thẻ trong số 10 thẻ chẵn là đồng khả năng.
Trong 10 thẻ chẵn đó, chỉ có duy nhất 1 thẻ mang số 10, tức là \(n(A \cap B) = 1\).
Xác suất cần tìm là xác suất có điều kiện \(P(A | B)\):
\[P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{1}{10} = 0,1\]Áp dụng công thức nhân xác suất:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B | A) = 0,2 \cdot 0,8 = 0,16\]Do đó, xác suất có điều kiện \(P(A | B)\) được tính bằng:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,16}{0,51} = \frac{16}{51} \approx 0,3137\]a) Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7 nếu biết rằng ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm;
b) Có ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm nếu biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7.
Gọi \(A\) là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7" và \(B\) là biến cố "Ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm".
Không gian mẫu \(n(\Omega) = 6 \times 6 = 36\).
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho \(A\):
\[A = \{(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)\} \Rightarrow n(A) = 6\]Tập hợp các kết quả thuận lợi cho \(B\):
\[B = \{(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (1; 5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (6; 5)\} \Rightarrow n(B) = 11\]Giao của hai biến cố \(A \cap B = \{(2; 5), (5; 2)\} \Rightarrow n(A \cap B) = 2\).
a) Tính xác suất \(P(A | B)\):
\[P(A | B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{2}{11}\]b) Tính xác suất \(P(B | A)\):
\[P(B | A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]Gọi \(E\) là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không nhỏ hơn 10" (tức là tổng số chấm \(\ge 10\)).
Gọi \(F\) là biến cố "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm".
Từ Bài 6.3, ta có biến cố \(F\) gồm 11 kết quả thuận lợi:
\[F = \{(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (1; 5), (2; 5), (3; 5), (4; 5), (6; 5)\} \Rightarrow n(F) = 11\]Xét các kết quả thuộc \(F\) thỏa mãn tổng số chấm \(\ge 10\) (tức là \(E \cap F\)):
- Với \((5; 5)\): Tổng \(= 10 \ge 10\).
- Với \((5; 6)\): Tổng \(= 11 \ge 10\).
- Với \((6; 5)\): Tổng \(= 11 \ge 10\).
Do đó \(E \cap F = \{(5; 5), (5; 6), (6; 5)\} \Rightarrow n(E \cap F) = 3\).
Xác suất cần tìm là:
\[P(E | F) = \frac{n(E \cap F)}{n(F)} = \frac{3}{11}\]a) Cả hai thí nghiệm đều thành công;
b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công;
c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công.
Gọi \(T_1\) là biến cố "Thí nghiệm thứ nhất thành công" và \(T_2\) là biến cố "Thí nghiệm thứ hai thành công".
Theo giả thiết đề bài, ta có:
- \(P(T_1) = 0,7 \Rightarrow P(\overline{T_1}) = 1 - 0,7 = 0,3\).
- \(P(T_2 | T_1) = 0,9 \Rightarrow P(\overline{T_2} | T_1) = 1 - 0,9 = 0,1\).
- \(P(T_2 | \overline{T_1}) = 0,4 \Rightarrow P(\overline{T_2} | \overline{T_1}) = 1 - 0,4 = 0,6\).
a) Cả hai thí nghiệm đều thành công (\(T_1 \cap T_2\)):
\[P(T_1 \cap T_2) = P(T_1) \cdot P(T_2 | T_1) = 0,7 \cdot 0,9 = 0,63\]b) Cả hai thí nghiệm đều không thành công (\(\overline{T_1} \cap \overline{T_2}\)):
\[P(\overline{T_1} \cap \overline{T_2}) = P(\overline{T_1}) \cdot P(\overline{T_2} | \overline{T_1}) = 0,3 \cdot 0,6 = 0,18\]c) Thí nghiệm thứ nhất thành công và thí nghiệm thứ hai không thành công (\(T_1 \cap \overline{T_2}\)):
\[P(T_1 \cap \overline{T_2}) = P(T_1) \cdot P(\overline{T_2} | T_1) = 0,7 \cdot 0,1 = 0,07\]Gọi \(n\) là tổng số cái kẹo ban đầu trong túi (\(n \in \mathbb{N}^*, n \ge 6\)).
Gọi \(C_1\) là biến cố "Lần thứ nhất lấy được kẹo màu cam" và \(C_2\) là biến cố "Lần thứ hai lấy được kẹo màu cam".
Ở lần lấy thứ nhất, trong túi có \(n\) cái kẹo, gồm 6 cái màu cam, do đó:
\[P(C_1) = \frac{6}{n}\]Khi lần thứ nhất đã lấy được 1 kẹo màu cam và không trả lại, trong túi còn lại \(n - 1\) cái kẹo, trong đó có 5 cái màu cam. Xác suất lần thứ hai lấy được kẹo màu cam là:
\[P(C_2 | C_1) = \frac{5}{n - 1}\]Xác suất để cả hai lần lấy được kẹo màu cam là:
\[P(C_1 \cap C_2) = P(C_1) \cdot P(C_2 | C_1) = \frac{6}{n} \cdot \frac{5}{n - 1} = \frac{30}{n(n - 1)}\]Theo đề bài, xác suất này bằng \(\frac{1}{3}\), do đó ta có phương trình:
\[\frac{30}{n(n - 1)} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow n(n - 1) = 90\] \[\Leftrightarrow n^2 - n - 90 = 0 \Leftrightarrow (n - 10)(n + 9) = 0\]Vì \(n > 0\) nên ta chọn \(n = 10\).
Vậy ban đầu trong túi có 10 cái kẹo.