BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V (PHẦN 2: TỰ LUẬN)
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

a) Mặt phẳng \((ABC)\):

Ta có \(\vec{AB} = (-1; 1; 3)\) và \(\vec{AC} = (-2; -2; 4)\)[cite: 12].

Vectơ pháp tuyến của \((ABC)\):

\[\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = (1 \cdot 4 - 3 \cdot (-2); \, 3 \cdot (-2) - (-1) \cdot 4; \, (-1) \cdot (-2) - 1 \cdot (-2)) = (10; -2; 4)\]

Rút gọn \(\vec{n}' = (5; -1; 2)\). Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(A(1; 0; -1)\) là:

\[5(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x - y + 2z - 3 = 0\]

b) Đường thẳng \(AC\):

\(\vec{AC} = (-2; -2; 4)\). Rút gọn VTCP \(\vec{u} = (1; 1; -2)\). Phương trình chính tắc của \(AC\) đi qua \(A(1; 0; -1)\):

\[\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2}\]

c) Mặt cầu đường kính \(AC\):

Tâm \(I\) là trung điểm \(AC\): \(I\left(\frac{1 + (-1)}{2}; \frac{0 + (-2)}{2}; \frac{-1 + 3}{2}\right) = (0; -1; 1)\).

Bán kính \(R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 4^2}}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}\).

Phương trình mặt cầu:

\[x^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 6\]

d) Mặt cầu tâm \(A\) đi qua \(B\):

Bán kính \(R = AB = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{11}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(A(1; 0; -1)\) là:

\[(x - 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 11\]

Lấy điểm \(M(1; -2; 4) \in d\)[cite: 12]. Ta có \(\vec{OM} = (1; -2; 4)\).

Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\vec{u}_d = (1; 1; -2)\)[cite: 12].

Mặt phẳng \((P)\) chứa \(d\) và \(O\) nhận \(\vec{n} = [\vec{OM}, \vec{u}_d]\) làm VPT:

\[\vec{n} = ((-2)\cdot(-2) - 4\cdot 1; \, 4\cdot 1 - 1\cdot(-2); \, 1\cdot 1 - (-2)\cdot 1) = (0; 6; 3)\]

Rút gọn \(\vec{n}' = (0; 2; 1)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(O(0; 0; 0)\) là:

\[0x + 2y + 1z = 0 \Leftrightarrow 2y + z = 0\]

a) Khoảng cách từ \(A\) đến \((P)\):

\[d(A, (P)) = \frac{|1 - 2(-1) + 2(2) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 2 + 4 - 1|}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2\]

b) Mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(A\) và \((Q) \parallel (P)\):

\((Q)\) nhận \(\vec{n}_P = (1; -2; 2)\) làm VPT. Phương trình \((Q)\) là:

\[1(x - 1) - 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z - 7 = 0\]

c) Mặt phẳng \((R)\) chứa \(A, B\) và vuông góc với \((P)\):

Ta có \(\vec{AB} = (-2; 2; -2)\). VPT của \((R)\) là \(\vec{n}_R = [\vec{AB}, \vec{n}_P]\):

\[\vec{n}_R = (2\cdot 2 - (-2)\cdot(-2); \, (-2)\cdot 1 - (-2)\cdot 2; \, (-2)\cdot(-2) - 2\cdot 1) = (0; 2; 2)\]

Rút gọn \(\vec{n}_R' = (0; 1; 1)\). Phương trình mặt phẳng \((R)\) đi qua \(A(1; -1; 2)\) là:

\[0(x - 1) + 1(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow y + z - 1 = 0\]

a) Vị trí tương đối của \(d\) và \(d'\):

\(d\) đi qua \(M(0; 1; 0)\) có \(\vec{u} = (1; 2; 2)\). \(d'\) đi qua \(N(-1; -2; 3)\) có \(\vec{u}' = (2; 2; -1)\)[cite: 12].

Tích vô hướng hai VTCP \(\vec{u}\) và \(\vec{u}'\) không cùng phương. Lập hệ giao điểm:

\[\begin{cases} t = -1 + 2s \\ 1 + 2t = -2 + 2s \\ 2t = 3 - s \end{cases}\]

Từ (1) và (3) tính được \(t = 1, s = 1\). Thử vào (2): \(1 + 2(1) = -2 + 2(1) \Leftrightarrow 3 = 0\) (vô lý). Hệ vô nghiệm, suy ra \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

b) Đường thẳng \(\Delta\) qua \(A\) và song song với \(d\):

\(\Delta\) nhận \(\vec{u} = (1; 2; 2)\) làm VTCP. Phương trình chính tắc:

\[\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{2}\]

c) Mặt phẳng \((P)\) chứa \(A(1; 0; 2)\) và \(d\):

\(d\) đi qua \(M(0; 1; 0)\) và VTCP \(\vec{u} = (1; 2; 2)\). Ta có \(\vec{MA} = (1; -1; 2)\).

VPT của \((P)\): \(\vec{n}_P = [\vec{MA}, \vec{u}] = ((-1)\cdot 2 - 2\cdot 2; \, 2\cdot 1 - 1\cdot 2; \, 1\cdot 2 - (-1)\cdot 1) = (-6; 0; 3)\).

Rút gọn \(\vec{n}_P' = (2; 0; -1)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là:

\[2(x - 1) + 0y - 1(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - z = 0\]

d) Giao điểm của \(d'\) với mặt phẳng \((Oxz)\):

Mặt phẳng \((Oxz)\) có phương trình \(y = 0\). Phương trình tham số của \(d'\): \(x = -1 + 2s, y = -2 + 2s, z = 3 - s\)[cite: 12].

Cho \(y = 0 \Rightarrow -2 + 2s = 0 \Rightarrow s = 1\).

Thay \(s = 1\) tìm được \(x = 1, z = 2\). Vậy giao điểm là \(K(1; 0; 2)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M(1; -1; 0)\) có VTCP \(\vec{u}_d = (2; 1; -1)\)[cite: 12]. Mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n}_P = (1; -2; -2)\)[cite: 12].

Mặt phẳng \((Q)\) chứa \(d\) và vuông góc với \((P)\) nên có VPT \(\vec{n}_Q = [\vec{u}_d, \vec{n}_P]\):

\[\vec{n}_Q = (1\cdot(-2) - (-1)\cdot(-2); \, (-1)\cdot 1 - 2\cdot(-2); \, 2\cdot(-2) - 1\cdot 1) = (-4; 3; -5)\]

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(M(1; -1; 0)\) là:

\[-4(x - 1) + 3(y + 1) - 5(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 5z - 7 = 0\]

\(d\) đi qua \(A(-1; 1; 0)\) có VTCP \(\vec{u} = (1; 2; -1)\). \(d'\) có VTCP \(\vec{u}' = (1; 1; 2)\)[cite: 12].

VPT của mặt phẳng \((P)\) là \(\vec{n}_P = [\vec{u}, \vec{u}']\):

\[\vec{n}_P = (2\cdot 2 - (-1)\cdot 1; \, (-1)\cdot 1 - 1\cdot 2; \, 1\cdot 1 - 2\cdot 1) = (5; -3; -1)\]

Phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \(d\) đi qua điểm \(A(-1; 1; 0)\) là:

\[5(x + 1) - 3(y - 1) - 1(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y - z + 8 = 0\]

VPT của \((P)\) và \((Q)\) lần lượt là \(\vec{n}_P = (1; -1; -1)\) và \(\vec{n}_Q = (2; 1; -1)\)[cite: 12].

Mặt phẳng \((R)\) vuông góc với cả \((P)\) và \((Q)\) nên có VPT \(\vec{n}_R = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q]\):

\[\vec{n}_R = ((-1)\cdot(-1) - (-1)\cdot 1; \, (-1)\cdot 2 - 1\cdot(-1); \, 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2) = (2; -1; 3)\]

Phương trình mặt phẳng \((R)\) đi qua \(A(-1; 2; 0)\) là:

\[2(x + 1) - 1(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 4 = 0\]

a) Vị trí tương đối:

\(d\) đi qua \(M(-2; -3; 3)\) có VTCP \(\vec{u} = (1; 2; -2)\). \(d'\) đi qua \(N(1; -2; 0)\) có VTCP \(\vec{u}' = (-1; 1; 2)\)[cite: 12].

Hai VTCP không cùng phương. Lập hệ phương trình tọa độ giao điểm:

\[\begin{cases} -2 + s = 1 - t \\ -3 + 2s = -2 + t \\ 3 - 2s = 2t \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} s + t = 3 \\ 2s - t = 1 \\ 2s + 2t = 3 \end{cases}\]

Cộng hai phương trình đầu được \(3s = 4 \Rightarrow s = \frac{4}{3}, t = \frac{5}{3}\). Thử vào phương trình ba: \(2\left(\frac{4}{3}\right) + 2\left(\frac{5}{3}\right) = 6 \neq 3\) (vô lý). Do đó hệ vô nghiệm, suy ra \(d\) và \(d'\) chéo nhau.

b) Góc giữa \(d\) và \(d'\):

\[\cos(d, d') = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{u}'|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{u}'|} = \frac{|1(-1) + 2(1) + (-2)(2)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 - 4|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\]

Góc giữa hai đường thẳng xấp xỉ \(65,9^\circ\) (hay \(65^\circ 54'\)).

Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\vec{u} = (2; -2; 1)\)[cite: 12]. Mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n} = (1; 1; -2)\)[cite: 12].

Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\):

\[\sin \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|2(1) + (-2)(1) + 1(-2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 2 - 2|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{9}\]

Suy ra góc \(\alpha \approx \mathbf{15,8^\circ}\) (hay \(15^\circ 48'\)).

Mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n}_P = (1; 1; 1)\)[cite: 12]. Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z = 0\) với VPT \(\vec{k} = (0; 0; 1)\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Oxy)\):

\[\cos \varphi = \frac{|\vec{n}_P \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}_P| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|1(0) + 1(0) + 1(1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Suy ra góc \(\varphi \approx \mathbf{54,7^\circ}\) (hay \(54^\circ 44'\)).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với vị trí dây dọi thứ nhất trên mặt nước. Mặt phẳng mặt nước nằm ngang là \((Oxy)\).

Ba vị trí dây dọi tạo thành tam giác đều cạnh \(a = 2\text{ m}\) trên mặt nước \((Oxy)\):

\(A(0; 0; 0)\), \(B(2; 0; 0)\), \(C(1; \sqrt{3}; 0)\).

Ba điểm tương ứng ở đáy bể có tọa độ (lấy chiều sâu theo trục \(Oz\) âm):

\(A'(0; 0; -4)\), \(B'(2; 0; -4,4)\), \(C'(1; \sqrt{3}; -4,8)\).

Ta có \(\vec{A'B'} = (2; 0; -0,4)\) và \(\vec{A'C'} = (1; \sqrt{3}; -0,8)\).

VPT của mặt phẳng đáy bể \((A'B'C')\) là:

\[\vec{n} = [\vec{A'B'}, \vec{A'C'}] = (0\cdot(-0,8) - (-0,4)\sqrt{3}; \, (-0,4)\cdot 1 - 2\cdot(-0,8); \, 2\sqrt{3} - 0) = (0,4\sqrt{3}; 1,2; 2\sqrt{3})\]

Mặt phẳng nằm ngang có VPT thẳng đứng \(\vec{k} = (0; 0; 1)\).

Góc nghiêng \(\theta\) của đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang thỏa mãn:

\[\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{(0,4\sqrt{3})^2 + 1,2^2 + (2\sqrt{3})^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{0,48 + 1,44 + 12}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13,92}} \approx 0,9285\]

Suy ra \(\theta \approx \mathbf{21,8^\circ}\) (hay \(21^\circ 48'\)).

Đường thẳng đường ống thoát nước đi qua \(A, B\) có VTCP \(\vec{u} = \vec{AB} = (4; 4; -1)\)[cite: 12].

Mặt phẳng sàn nhà \((Oxy)\) có phương trình \(z = 0\) với VPT \(\vec{k} = (0; 0; 1)\)[cite: 12].

Góc \(\gamma\) tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn thỏa mãn:

\[\sin \gamma = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{k}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|4(0) + 4(0) + (-1)(1)|}{\sqrt{4^2 + 4^2 + (-1)^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{16 + 16 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{33}}\]

Suy ra \(\gamma \approx \mathbf{10,02^\circ}\) (hay \(10^\circ 1'\)).

Mặt cầu \((S)\) có tâm là gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) và bán kính \(R = OA = 1\)[cite: 12].

Tính khoảng cách từ tâm Trái Đất \(O(0; 0; 0)\) đến vị trí người quan sát \(B(1; 1; -1)\):

\[OB = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\]

Vì \(A\) thuộc đường chân trời đối với người quan sát tại \(B\) nên tiếp tuyến \(AB\) vuông góc với bán kính \(OA\) tại tiếp điểm \(A\), tức là tam giác \(OAB\) vuông tại \(A\) (\(\widehat{BAO} = 90^\circ\))[cite: 12].

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \(OAB\):

\[AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}\]

Vậy khoảng cách \(AB = \mathbf{\sqrt{2}}\).