Giải Bài Tập Cuối Chương V (Phần 1 - Trắc nghiệm) - Toán 12 KNTT

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V (PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM)
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

A - TRẮC NGHIỆM

Bài 5.31. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P): x - 2y - 3z + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) có tọa độ là
A. \((1; 2; 3)\).      B. \((1; -2; 3)\).      C. \((1; 2; -3)\).      D. \((1; -2; -3)\).
Lời giải:

Mặt phẳng \((P): x - 2y - 3z + 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến thu được từ các hệ số của \(x, y, z\) là \(\vec{n} = (1; -2; -3)\)[cite: 11].

Chọn D.

Bài 5.32. Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(I(1; -1; 2)\) và nhận vectơ \(\vec{n} = (2; 1; -1)\) làm một vectơ pháp tuyến là
A. \(x - y + 2z + 1 = 0\).      B. \(x - y + 2z - 6 = 0\).      C. \(2x + y - z - 1 = 0\).      D. \(2x + y - z + 1 = 0\).
Lời giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua \(I(1; -1; 2)\) và có VPT \(\vec{n} = (2; 1; -1)\) là[cite: 11]:

\[2(x - 1) + 1(y + 1) - 1(z - 2) = 0\] \[\Leftrightarrow 2x - 2 + y + 1 - z + 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - z + 1 = 0\]

Chọn D.

Bài 5.33. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 3}{-2}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
A. \((1; -2; 3)\).      B. \((2; 1; -2)\).      C. \((2; 1; 2)\).      D. \((1; 2; 3)\).
Lời giải:

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\), vectơ chỉ phương là các mẫu số lần lượt dưới các vế: \(\vec{u} = (2; 1; -2)\)[cite: 11].

Chọn B.

Bài 5.34. Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
A. \((1; -2; 3)\).      B. \((2; 0; 0)\).      C. \((2; 1; -1)\).      D. \((2; 1; 1)\).
Lời giải:

Từ phương trình tham số của đường thẳng \(d\), vectơ chỉ phương chính là các hệ số chứa tham số \(t\): \(\vec{u} = (2; 1; -1)\)[cite: 11].

Chọn C.

Bài 5.35. Trong không gian \(Oxyz\), phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(I(2; -1; 1)\) và nhận vectơ \(\vec{u} = (1; 2; -3)\) làm vectơ chỉ phương là
A. \(\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z + 3}{1}\).      B. \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{-3}\).
C. \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-3}\).      D. \(\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{1}\).
Lời giải:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm \(I(2; -1; 1)\) có VTCP \(\vec{u} = (1; 2; -3)\) là[cite: 11]:

\[\frac{x - 2}{1} = \frac{y - (-1)}{2} = \frac{z - 1}{-3} \Leftrightarrow \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{-3}\]

Chọn C.

Bài 5.36. Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(-1; 0; -1)\), \(B(2; 1; 1)\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là
A. \(\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}\).      B. \(\begin{cases} x = -1 + t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}\).
C. \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases}\).      D. \(\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}\).
Lời giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là[cite: 11]:

\[\vec{u} = \vec{AB} = (2 - (-1); 1 - 0; 1 - (-1)) = (3; 1; 2)\]

Đường thẳng đi qua điểm \(A(-1; 0; -1)\) có phương trình tham số[cite: 11]:

\[\begin{cases} x = -1 + 3t \\ y = t \\ z = -1 + 2t \end{cases}\]

Chọn D.

Bài 5.37. Trong không gian \(Oxyz\), phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(I(2; 1; -3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): x - 2y + z - 3 = 0\) là
A. \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 3}{1}\).      B. \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{1}\).
C. \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 3}{1}\).      D. \(\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 3}{1}\).
Lời giải:

Mặt phẳng \((P): x - 2y + z - 3 = 0\) có VPT \(\vec{n}_P = (1; -2; 1)\)[cite: 11].

Vì đường thẳng \(d \perp (P)\) nên \(d\) nhận \(\vec{u} = \vec{n}_P = (1; -2; 1)\) làm VTCP[cite: 11].

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I(2; 1; -3)\) là[cite: 11]:

\[\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 3}{1}\]

Chọn A.

Bài 5.38. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): (x + 1)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 4\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \((S)\) lần lượt là
A. \(I(1; 0; 3)\), \(R = 4\).      B. \(I(1; 0; 3)\), \(R = 2\).
C. \(I(-1; 0; 3)\), \(R = 2\).      D. \(I(-1; 0; 3)\), \(R = 4\).
Lời giải:

So sánh phương trình \((x + 1)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 4\) với phương trình chính tắc \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\)[cite: 11]:

Ta được tâm \(I(-1; 0; 3)\) và bán kính \(R = \sqrt{4} = 2\)[cite: 11].

Chọn C.

Bài 5.39. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\) lần lượt là
A. \(I(1; -2; -1)\), \(R = 3\).      B. \(I(1; 2; 1)\), \(R = 9\).
C. \(I(1; 2; 1)\), \(R = 3\).      D. \(I(1; -2; -1)\), \(R = 9\).
Lời giải:

Phương trình mặt cầu có dạng \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)[cite: 11].

Ta có: \(-2a = -2 \Rightarrow a = 1\); \(-2b = 4 \Rightarrow b = -2\); \(-2c = 2 \Rightarrow c = -1\); \(d = -3\)[cite: 11].

Do đó, tâm của mặt cầu là \(I(1; -2; -1)\)[cite: 11].

Bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2 - (-3)} = \sqrt{1 + 4 + 1 + 3} = \sqrt{9} = 3\)[cite: 11].

Chọn A.