BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Cho phương trình tổng quát: \(x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z+1=0.\) Tìm tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu.
Bước 1: Với phương trình dạng \(x^2+y^2+z^2+ux+vy+wz+c=0\), tâm \(I=(-u/2,-v/2,-w/2)\).
Ở đây \(u=-4,\ v=6,\ w=-2\) ⇒ \(I=(2,-3,1)\).
Bước 2: \(R^2 = x_0^2+y_0^2+z_0^2 - c = 2^2+(-3)^2+1^2 - 1 = 4+9+1-1 = 13\).
Vậy \(R=\sqrt{13}\).
Câu 2. Cho phương trình khai triển: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.\) Tọa độ tâm và bán kính là?
Phương trình có dạng chuẩn \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2\).
So sánh cho: \(x_0=1,\ y_0=-2,\ z_0=3,\ R^2=25\Rightarrow R=5\).
Câu 3. Phương trình nào dưới đây KHÔNG biểu diễn một mặt cầu thực (có bán kính thực)?
Ta kiểm tra \(R^2 = x_0^2+y_0^2+z_0^2 - c\) sau khi hoàn thành bình phương.
- A: hoàn thành được và R^2>0 → có.
- B: đã là dạng chuẩn → có.
- C: \(x^2+y^2+z^2+4=0 \Rightarrow (x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2 = -4\) → \(R^2=-4<0\): không có mặt cầu thực.
- D: hoàn thành bình phương được và R^2≥0 → có.
Vậy phương trình không biểu diễn mặt cầu thực là phương án C.
Câu 4. Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(2,-1,3)\) và bán kính \(R=4.\)
Công thức phương trình: \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2\).
Thay \(x_0=2,\ y_0=-1,\ z_0=3,\ R=4\) ⇒
\((x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2 = 16.\)
Câu 5. Cho tâm \(I(1,2,0)\) và biết mặt cầu đi qua \(P(4,2,3)\). Viết phương trình mặt cầu.
Bán kính \(R\) là khoảng cách \(IP\):
\(R^2=(4-1)^2+(2-2)^2+(3-0)^2 = 3^2 + 0 + 3^2 = 9+9 = 18.\)
Phương trình: \((x-1)^2+(y-2)^2+z^2 = 18.\)
Câu 6. Viết phương trình mặt cầu có đoạn thẳng \(AB\) là đường kính, với \(A(1,0,2)\) và \(B(3,2,4).\)
Tâm là trung điểm \(I\) của \(AB\): \(I\left(\frac{1+3}{2},\frac{0+2}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(2,1,3).\)
Độ dài \(AB^2 = (3-1)^2+(2-0)^2+(4-2)^2 = 4+4+4 = 12.\)
Bán kính \(R = \frac{|AB|}{2}\Rightarrow R^2 = \frac{12}{4} = 3.\)
Vậy phương trình: \((x-2)^2+(y-1)^2+(z-3)^2 = 3.\)
Câu 7. Viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(1,2,3)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(x+2y-2z+5=0\).
Khoảng cách từ tâm \(I(1,2,3)\) đến mặt phẳng:
\(d = \dfrac{|1+4-6+5|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}} = \dfrac{|4|}{\sqrt{1+4+4}} = \dfrac{4}{3}.\)
Vì tiếp xúc ⇒ bán kính \(R = d = \dfrac{4}{3}\).
Phương trình: \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2 = \left(\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9}.\)
Câu 8. Một quả bóng có tâm đặt tại gốc toạ độ và bán kính 11 cm. Viết phương trình mặt cầu mô tả quả bóng.
Tâm \(I(0,0,0)\), bán kính \(R=11\). Phương trình chuẩn: \((x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2 = 11^2 = 121.\)
Câu 9. Một bồn chứa dạng cầu có tâm \(I(0,0,10)\) và chạm mặt nền \(z=0\). Bán kính là bao nhiêu và phương trình là gì?
Nếu bồn chạm nền \(z=0\) và tâm ở \(z=10\) thì bán kính là khoảng cách theo trục z: \(R=10\).
Phương trình: \((x-0)^2+(y-0)^2+(z-10)^2 = 10^2 = 100.\)
Câu 10. Trạm thu phát đặt tại \(T(100,50,200)\) có tầm phủ sóng bán kính 500 (m). Viết phương trình ảnh hưởng (mô hình mặt cầu) của vùng phủ.
Bán kính \(R=500\) ⇒ \(R^2=500^2 = 250000\).
Phương trình vùng phủ: \((x-100)^2+(y-50)^2+(z-200)^2 = 250000.\)
