Mind Map

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

CREATIVE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

ORIGINAL IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

SIMPLE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

CLEVER IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

UNIQUE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

FRESH IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

Ví dụ – Phương trình mặt cầu trong Oxyz

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1Đề bài

Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình tổng quát: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 1 = 0.$$

Phương trình được viết lại dưới dạng: $$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 13.$$ Vậy tâm $I(1, -2, 3)$, bán kính $R = \sqrt{13}$.

Ví dụ 2Đề bài

Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình khai triển: $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9.$$

Ta có ngay tâm $I(2, -1, 2)$ và bán kính $R = 3$.

Ví dụ 3Đề bài

Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1, 2, -1)$ và bán kính $R = 4$.

Phương trình mặt cầu là: $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 16.$$

Ví dụ 4Đề bài

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I(2, -1, 3)$ và đi qua điểm $A(4, 1, 6)$.

Bán kính: $$R = IA = \sqrt{(4-2)^2 + (1+1)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{17}.$$ Phương trình: $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 17.$$

Ví dụ 5Đề bài

Viết phương trình mặt cầu có đường kính $AB$ với $A(1,2,3)$, $B(3,4,1)$.

Tâm $I$ là trung điểm của $AB$: $$I(2, 3, 2).$$ Bán kính: $$R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2+(1-3)^2} = \sqrt{3}.$$ Phương trình: $$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 3.$$

Ví dụ 6Đề bài

Một quả bóng tennis được mô phỏng là mặt cầu bán kính $3.2\,\text{cm}$. Tính thể tích quả bóng.

Thể tích: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3.2)^3 \approx 137.26\,\text{cm}^3.$$

Ví dụ 7Đề bài

Một giọt nước có dạng gần giống mặt cầu bán kính $1\,\text{mm}$. Tính thể tích giọt nước.

Thể tích: $$V = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi \approx 4.19\,\text{mm}^3.$$

Ví dụ 8Đề bài

Một bể chứa nước hình cầu bán kính $2\,\text{m}$. Tính diện tích bề mặt của bể.

Diện tích: $$S = 4\pi R^2 = 4\pi (2)^2 = 16\pi \approx 50.27\,\text{m}^2.$$

Ví dụ 9Đề bài

Một vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất ở độ cao $h = 4000\,\text{km}$ (bán kính Trái Đất $R_T = 6370\,\text{km}$). Tính khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh.

Tổng khoảng cách: $$R = R_T + h = 6370 + 4000 = 10370\,\text{km}.$$

Ví dụ 10Đề bài

Một quả cầu kim loại có khối lượng riêng $D = 7800\,\text{kg/m}^3$ và bán kính $0.1\,\text{m}$. Tính khối lượng quả cầu.

Thể tích: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (0.1)^3 = 0.00419\,\text{m}^3.$$ Khối lượng: $$m = D \cdot V = 7800 \times 0.00419 \approx 32.7\,\text{kg}.$$

Ví dụ 11Đề bài

Một bóng bay hình cầu có thể tích $V = 905\,\text{cm}^3$. Tính bán kính của bóng bay.

Từ công thức: $$V = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow R = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} = \sqrt[3]{\frac{3\times905}{4\pi}} \approx 6.0\,\text{cm}.$$