BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Bước 1: Nhìn vào dạng đối xứng \(\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}=t\). Bước 2: Vectơ chỉ phương là \((a,b,c)\). Ở đây \(a=2,\ b=-1,\ c=4\). ⇒ Vectơ chỉ phương: \(\boxed{(2,-1,4)}\).

Bước 1: Phương trình tham số có dạng \(x=x_0+at,\ y=y_0+bt,\ z=z_0+ct\). Bước 2: Vectơ chỉ phương là \((a,b,c)\). Ở đây \(a=3,\ b=-2,\ c=5\). ⇒ Vectơ chỉ phương: \(\boxed{(3,-2,5)}\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A(x_0,y_0,z_0)\) với vectơ chỉ phương \((a,b,c)\) là: \(\;x=x_0+at,\; y=y_0+bt,\; z=z_0+ct.\) Thay \(A(1,0,2)\) và \(\vec v=(2,1,-1)\): \(\boxed{x=1+2t,\ y=0+t,\ z=2-t.}\) Đó là phương án C.

Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng song song (hướng) với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Mặt phẳng \(2x-y+z-4=0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=(2,-1,1)\). Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng là \((2,-1,1)\). Vậy đường thẳng đi qua \(A(1,2,3)\) có phương trình tham số: \(\boxed{x=1+2t,\ y=2-t,\ z=3+t.}\) (Phương án B.)

Tìm vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{PQ}=Q-P=(3-0,\ -1-1,\ 0-2)=(3,-2,-2)\). Lấy điểm P(0,1,2) làm điểm gốc, phương trình tham số: \(\boxed{x=0+3t,\ y=1-2t,\ z=2-2t.}\) (Phương án C.) Ghi chú: phương án A tương tự nhưng bỏ phần ghi toạ độ ban đầu (cần xác định gốc).

Vectơ chỉ phương của \(\ell_1\) là \(\vec u=(1,1,1)\). Vectơ chỉ phương của \(\ell_2\) là \(\vec v=(1,1,1)\). Vì \(\vec u\) song song với \(\vec v\) và hai đường có một điểm trên \(\ell_1\) là (t,t,t) không thể bằng (1+s,s,s) với cùng tham số ⇒ hai đường song song nhưng khác nhau. ⇒ Kết luận: \(\boxed{\text{Song song khác nhau.}}\) (Phương án B.)

Ta cần tìm \(t,s\) sao cho: \[ \begin{cases} t = 1 - s \\ 2t = 1 \\ 3t = 1 + s \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai: \(2t=1 \Rightarrow t=\tfrac{1}{2}\). Thay vào phương trình thứ nhất: \(\tfrac{1}{2} = 1 - s \Rightarrow s = \tfrac{1}{2}\). Kiểm tra phương trình thứ ba: \(3t = 3\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\) và \(1+s = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2}\) — thỏa. Vậy giao điểm là: \(\boxed{\left(\tfrac{1}{2},\,1,\,\tfrac{3}{2}\right).}\) (Phương án A.)

Công thức: \(\cos\theta = \dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{\|\vec u\|\|\vec v\|}.\) Tính: \(\vec u\cdot\vec v = 1\cdot1 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 1.\) \(\|\vec u\|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2},\ \|\vec v\|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.\) Vậy \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \theta=60^\circ.\)

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc \(\alpha\) giữa vectơ chỉ phương \(\vec v\) của đường thẳng và mặt phẳng. Công thức thuận tiện: \(\displaystyle \sin\alpha = \frac{|\vec v\cdot\vec n|}{\|\vec v\|\|\vec n\|}.\) Tính: \(\vec v\cdot\vec n = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot1 = 2 -2 +2 = 2.\) \(\|\vec v\|=\sqrt{1+4+4}=3,\ \|\vec n\|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.\) ⇒ \(\displaystyle \sin\alpha = \frac{2}{3\sqrt{6}}.\) Vậy \(\boxed{\alpha = \arcsin\!\left(\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\right).}\)

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến. Tính: \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot0 = 1-1+0 = 0.\) Vì tích vô hướng bằng 0 ⇒ hai vectơ pháp tuyến vuông góc ⇒ hai mặt phẳng vuông góc. ⇒ Góc giữa hai mặt phẳng: \(\boxed{90^\circ}.\) (Phương án D.)