Lời giải:

So sánh với dạng tham số chuẩn $x=x_0+at,\;y=y_0+bt,\;z=z_0+ct$. Ta nhận được:

Vectơ chỉ phương $\mathbf{v}=(a,b,c)=(2,3,-1)$.

Một điểm thuộc đường thẳng (lấy tại $t=0$) là $P(1,-1,4)$.

Lời giải:

Phương trình tham số: $$x = 2 + 1\cdot t,\quad y = 0 - 2\cdot t,\quad z = -1 + 3\cdot t,\quad t\in\mathbb{R}.$$ Hoặc viết vectơ: $\; \vec r = (2,0,-1) + t(1,-2,3)\,.$

Lời giải:

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\,-1-2,\;4-0)=(2,-3,4)$.

Chọn điểm $A$ làm điểm mốc, phương trình tham số: $$x=1+2t,\quad y=2-3t,\quad z=0+4t,\quad t\in\mathbb{R}.$$ Hoặc $\vec r=(1,2,0)+t(2,-3,4)$. Điểm $A$ hoặc $B$ đều đúng.

Lời giải:

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có phương hướng trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến của $\pi$ là $\mathbf{n}=(2,-1,1)$.

Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\mathbf{v}=(2,-1,1)$ và phương trình tham số là: $$x=1+2t,\quad y=2 - t,\quad z=3 + t,\quad t\in\mathbb{R}.$$ (Đây là đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $\pi$.)

Lời giải:

Vectơ chỉ phương: $\mathbf{v}_1=(1,2,1)$ và $\mathbf{v}_2=(2,4,2)=2\mathbf{v}_1$. Vậy hai vectơ chỉ phương tỉ lệ → hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Kiểm tra xem một điểm của $L_2$ có thuộc $L_1$ không: thử với điểm $B(1,0,0)$ của $L_2$. Giải hệ để tìm $t$ sao cho $(0,1,2)+t(1,2,1)=(1,0,0)$:

Từ hệ: $0+t=1\Rightarrow t=1$; với $t=1$ thì $y:1+2\cdot1=3\ne0$. Vậy không tồn tại $t$ thỏa. Do đó hai đường song song nhưng khác nhau (không trùng nhau).

Lời giải:

Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương. Công thức: $$\cos\theta=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|}.$$

Tính: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=1\cdot2 + 2\cdot1 + 2\cdot(-1)=2+2-2=2.$

$\|\mathbf{u}\|=\sqrt{1+4+4}=3,\quad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.$

Do đó $$\cos\theta=\frac{2}{3\sqrt{6}}.$$ Suy ra $\theta=\arccos\!\big(\tfrac{2}{3\sqrt6}\big)\approx 71.57^\circ$ (làm tròn 2 chữ số: $71.57^\circ$).

Lời giải:

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}_1$ và $\mathbf{n}_2$:

$\mathbf{n}_1=(2,-1,2),\quad \mathbf{n}_2=(1,2,2).$

Tích vô hướng: $\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 2\cdot2 = 2 -2 +4 = 4.$

Độ dài: $\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{4+1+4}=3,\quad \|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{1+4+4}=3.$

Vậy $$\cos\phi = \frac{4}{3\cdot3} = \frac{4}{9} \quad\Rightarrow\quad \phi = \arccos\!\big(\tfrac{4}{9}\big)\approx 63.62^\circ.$$

Lời giải:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc $\alpha$ giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng, nhưng thuận tiện tính qua góc $\theta$ giữa vectơ chỉ phương $\mathbf{u}$ và vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}$ rồi lấy $$\alpha = 90^\circ - \theta.$$ Với $\theta$ thỏa $\cos\theta = \dfrac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{n}\|}$.

Tính: $\mathbf{u}\cdot\mathbf{n} = 1\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot0 = 3.$

$\|\mathbf{u}\|=3,\quad \|\mathbf{n}\|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt{2}.$

Vậy $\cos\theta = \dfrac{3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = 45^\circ.$

Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $$\alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.$$

Lời giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: $\overrightarrow{AB}=B-A=(10,3,1)$.

Phương trình tham số: $$x=0+10t,\quad y=0+3t,\quad z=0+1t,\quad t\in\mathbb{R}.$$ (Với $t\in[0,1]$ ta đi từ A đến B.)

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ngang $z=0$ bằng $\alpha = 90^\circ - \theta$, với $\theta$ là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}=(0,0,1)$ của mặt phẳng ngang.

Tính: $\overrightarrow{AB}\cdot\mathbf{n}=1$. $\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{10^2+3^2+1^2}=\sqrt{110}\approx10.4881$ và $\|\mathbf{n}\|=1$.

Do đó $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{110}} \approx 0.09535 \Rightarrow \theta \approx 84.54^\circ.$

Vậy góc nghiêng so với phương ngang: $$\alpha = 90^\circ - 84.54^\circ \approx 5.46^\circ.$$ (Con dốc nghiêng khoảng $5.46^\circ$ so với mặt phẳng ngang.)