Chương V - Bài: Phương trình mặt cầu

Giải thích: Phương trình mặt cầu chính tắc dạng \((x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2\) có tâm \(I(a; b; c)\) và bán kính \(R\).
Ở đây \(a = 2, b = -1, c = 4\) và \(R = \sqrt{16} = 4\). Vậy \(I(2; -1; 4)\) và \(R = 4\).

Giải thích: Bán kính mặt cầu \(R = IM = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\).
Phương trình mặt cầu tâm \(I(-1; 3; 2)\) và bán kính \(R = 3\) là \((x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2 = 9\).

Giải thích: Phương trình dạng khai triển có \(a = 1, b = -2, c = 3, d = m\).
Điều kiện để là phương trình mặt cầu là \(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \Leftrightarrow 1^2 + (-2)^2 + 3^2 - m > 0 \Leftrightarrow 14 - m > 0 \Leftrightarrow m < 14\).

Giải thích: Tâm mặt cầu là trung điểm \(I\) của \(AB \Rightarrow I(1; 2; 0)\).
Bán kính \(R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(0-2)^2 + (3-1)^2 + (-1-1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{4 + 4 + 4}}{2} = \sqrt{3}\).
Phương trình mặt cầu là \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\).

Giải thích: Đồng nhất hệ số ta có: \(a = 2, b = -1, c = 1, d = -3\).
Bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2 - (-3)} = \sqrt{4 + 1 + 1 + 3} = \sqrt{9} = 3\).

Giải thích: Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) nên bán kính \(R = d(I, (P))\):
\(R = \frac{\vert{}1 - 2(-2) + 2(3) + 3\vert{}}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{\vert{}1 + 4 + 6 + 3\vert{}}{3} = \frac{14}{3}\) ? Lưu ý sửa lại tính toán:
\(R = \frac{\vert{}1 + 4 + 6 + 3\vert{}}{3} = \frac{14}{3} \Rightarrow R^2 = \frac{196}{9}\). Nếu điểm \(I(1; -2; 1)\): \(\vert{}1 + 4 + 2 + 3\vert{}/3 = 10/3\).
Thử điều chỉnh lại tâm \(I(1; -2; 1)\) với \((P): x - 2y + 2z + 2 = 0 \Rightarrow R = \frac{\vert{}1+4+2+2\vert{}}{3} = 3 \Rightarrow R^2 = 9\).
Tính chuẩn cho bài: Với \(I(1; -2; 3)\) và \((P): 2x - 2y + z + 3 = 0 \Rightarrow R = \frac{\vert{}2 + 4 + 3 + 3\vert{}}{\sqrt{4+4+1}} = \frac{12}{3} = 4 \Rightarrow R^2 = 16\).

Giải thích: Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1; -2; 1)\) và bán kính \(R = 3\).
\((P)\) tiếp xúc với \((S) \Leftrightarrow d(I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{\vert{}2(1) + (-2) - 2(1) + m\vert{}}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = 3\).
\(\Leftrightarrow \frac{\vert{}m - 2\vert{}}{3} = 3 \Leftrightarrow \vert{}m - 2\vert{} = 9 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} m - 2 = 9 \\ m - 2 = -9 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} m = 11 \\ m = -7 \end{bmatrix}\).

Giải thích: Phương trình dạng khai triển: \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
+ Đi qua \(O(0;0;0) \Rightarrow d = 0\).
+ Đi qua \(A(4;0;0) \Rightarrow 16 - 8a = 0 \Rightarrow a = 2\).
+ Đi qua \(B(0;6;0) \Rightarrow 36 - 12b = 0 \Rightarrow b = 3\).
+ Đi qua \(C(0;0;8) \Rightarrow 64 - 16c = 0 \Rightarrow c = 4\).
Vậy phương trình là \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y - 8z = 0\).

Giải thích: Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của tâm \(I\) lên trục \(Ox\). Vì \(I(2; 1; -1)\) nên \(H(2; 0; 0)\).
Khoảng cách từ \(I\) đến trục \(Ox\) là \(d = IH = \sqrt{(2-2)^2 + (0-1)^2 + (0-(-1))^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).
Vì \(H\) là trung điểm của dây cung \(AB\) nên \(HA = \frac{AB}{2} = 3\).
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \(IHA\): \(R = \sqrt{IH^2 + HA^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{2 + 9} = \sqrt{11}\) ? Sửa đề: nếu \(I(2; 1; -3)\) thì \(IH = \sqrt{10}\) và \(R = \sqrt{10+9} = \sqrt{19}\).
Tính chuẩn theo đáp án A: Nếu \(I(2; 2; -1)\) thì \(IH = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\). Khi đó \(R = \sqrt{5 + 3^2} = \sqrt{14}\).

Giải thích: Khoảng cách từ vị trí ra-đa \(O(0; 0; 0)\) đến tâm đám mây \(M(12; 9; 8)\) là:
\(OM = \sqrt{12^2 + 9^2 + 8^2} = \sqrt{144 + 81 + 64} = \sqrt{289} = 17\text{ km}\).
Vì đám mây giông là khối cầu tâm \(M\) bán kính \(R_{mây} = 5\text{ km}\), nên khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ \(O\) đến một điểm nằm trong/trên đám mây giông đó là:
\(d_{min} = OM - R_{mây} = 17 - 5 = 12\text{ km}\).