⚽ BÀI HỌC TOÁN 12: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương V)
1. Định nghĩa & Phương trình chính tắc của mặt cầu
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I(a; b; c)\) bán kính \(R\) (\(R > 0\)) là tập hợp tất cả các điểm \(M(x; y; z)\) trong không gian sao cho khoảng cách từ \(I\) đến \(M\) bằng \(R\):
\[ IM = R \]Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(a; b; c)\) và bán kính \(R\) có phương trình dạng chính tắc:
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \]2. Phương trình dạng khai triển của mặt cầu
Khai triển phương trình chính tắc, ta thu được phương trình dạng:
\[ x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \]Trong đó \(d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2\).
Phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:
\[ a^2 + b^2 + c^2 - d > 0 \]Khi đó, mặt cầu có:
- Tâm: \(I(a; b; c)\)
- Bán kính: \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}\)
3. Vị trí tương đối giữa điểm và mặt cầu
Cho mặt cầu \((S)\) tâm \(I\) bán kính \(R\) và điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) bất kỳ. Ta tính khoảng cách \(d = IM_0\):
- Điểm \(M_0\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\): \(IM_0 > R \Leftrightarrow (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 + (z_0 - c)^2 > R^2\)
- Điểm \(M_0\) nằm trên mặt cầu \((S)\): \(IM_0 = R \Leftrightarrow (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 + (z_0 - c)^2 = R^2\)
- Điểm \(M_0\) nằm trong mặt cầu \((S)\): \(IM_0 < R \Leftrightarrow (x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 + (z_0 - c)^2 < R^2\)
4. Các dạng toán lập phương trình mặt cầu thường gặp
- Tâm \(I\): là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) \(\Rightarrow I\left(\displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}; \displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}; \displaystyle\frac{z_A + z_B}{2}\right)\)
- Bán kính \(R\): \(R = \displaystyle\frac{AB}{2} = IA = IB\)
Gọi phương trình mặt cầu là \((S): x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).
Thế tọa độ 4 điểm \(A, B, C, D\) vào phương trình \((S)\) ta thu được hệ 4 phương trình bậc nhất 4 ẩn \(a, b, c, d\). Giải hệ để tìm tọa độ tâm \(I(a;b;c)\) và bán kính \(R\).
5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Trong không gian \(Oxyz\), cho phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\). Hỏi đây có phải là phương trình mặt cầu không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính.
Phương trình có dạng khai triển với các hệ số:
\(-2a = -4 \Rightarrow a = 2\)
\(-2b = 2 \Rightarrow b = -1\)
\(-2c = -6 \Rightarrow c = 3\)
\(d = -2\)
Xét giá trị: \(a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 - (-2) = 4 + 1 + 9 + 2 = 16 > 0\).
Do đó, đây là phương trình mặt cầu có:
• Tâm: \(I(2; -1; 3)\)
• Bán kính: \(R = \sqrt{16} = 4\)
Viết phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1; 3; -2)\) và đi qua điểm \(A(3; 1; -1)\).
Bán kính \(R\) của mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(A\):
\[ R = IA = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \]Phương trình chính tắc của mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1; 3; -2)\), bán kính \(R = 3\) là:
\[ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 9 \]Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình mặt cầu \((S)\) nhận đoạn thẳng \(AB\) làm đường kính với \(A(2; 1; 1)\) và \(B(0; 3; -3)\).
• Tâm \(I\) của mặt cầu là trung điểm của \(AB\):
\[ x_I = \displaystyle\frac{2 + 0}{2} = 1, \quad y_I = \displaystyle\frac{1 + 3}{2} = 2, \quad z_I = \displaystyle\frac{1 + (-3)}{2} = -1 \Rightarrow I(1; 2; -1) \]• Bán kính \(R\):
\[ R = IA = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \]Phương trình mặt cầu \((S)\) là:
\[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 6 \]6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Dạng Phương Trình | Biểu Thức Công Thức | Thông Số Tâm & Bán Kính |
|---|---|---|
| Chính tắc | \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\) | Tâm \(I(a; b; c)\), Bán kính \(R\) |
| Khai triển | \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) | Tâm \(I(a; b; c)\), \(R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}\) |
| Điều kiện tồn tại | \(a^2 + b^2 + c^2 - d > 0\) | Bắt buộc để bán kính \(R > 0\) |
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu \((S)\) có phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 4y + 2z - 11 = 0\).
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu \((S)\) đi qua hai điểm \(A(1; 0; 2), B(3; 2; 0)\) và có tâm nằm trên trục \(Ox\).
Bài 3: Cho ba điểm \(A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6)\). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\) (với \(O\) là gốc tọa độ).
Bài 4 (Thực tế): Một vệ tinh địa tĩnh di chuyển xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo dạng mặt cầu tâm là tâm Trái Đất \(O(0;0;0)\). Cho biết bán kính Trái Đất là khoảng \(6371\text{ km}\) và vệ tinh hoạt động ở độ cao \(35786\text{ km}\) so với bề mặt Trái Đất. Viết phương trình mặt cầu thể hiện quỹ đạo di chuyển của vệ tinh đó trong hệ tọa độ \(Oxyz\).