BÀI 17: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
(TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
So sánh với phương trình chính tắc của mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), ta có:
\(a = \frac{1}{2}\), \(b = -1\), \(c = 0\) và \(R^2 = 9 \Rightarrow R = 3\).
Vậy mặt cầu \((S)\) có:
- Tâm: \(I\left(\frac{1}{2}; -1; 0\right)\)
- Bán kính: \(R = 3\)
Phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(-2; 0; 5)\) và bán kính \(R = 2\) là:
\[[x - (-2)]^2 + (y - 0)^2 + (z - 5)^2 = 2^2\] \[\Leftrightarrow (x + 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 = 4\]Khoảng cách từ tâm \(I(0; 3; -1)\) đến mặt phẳng \((P): 3x + 2y - z = 0\) là bán kính \(R\) của mặt cầu \((S)\):
\[R = d(I, (P)) = \frac{|3(0) + 2(3) - (-1)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 6 + 1|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{14}}\]Do đó \(R^2 = \left(\frac{7}{\sqrt{14}}\right)^2 = \frac{49}{14} = \frac{7}{2}\).
Phương trình mặt cầu \((S)\) cần tìm là:
\[(x - 0)^2 + (y - 3)^2 + [z - (-1)]^2 = \frac{7}{2} \Leftrightarrow x^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = \frac{7}{2}\]So sánh phương trình mặt cầu với dạng tổng quát \(x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), ta có:
- \(-2a = 2 \Rightarrow a = -1\)
- \(-2b = -2 \Rightarrow b = 1\)
- \(-2c = 8 \Rightarrow c = -4\)
- \(d = -18\)
Vậy mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1; 1; -4)\).
Bán kính:
\[R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2 - (-18)} = \sqrt{1 + 1 + 16 + 18} = \sqrt{36} = 6\]a) \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 5z + 30 = 0\);
b) \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z = 0\);
c) \(x^3 + y^3 + z^3 - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\);
d) \(x^2 + y^2 + z^2 + 5 = 0\).
a) Xét \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 5z + 30 = 0\):
Ta có \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = \frac{5}{2}\), \(d = 30\).
Xét hiệu: \(a^2 + b^2 + c^2 - d = 1^2 + 0^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 30 = 1 + \frac{25}{4} - 30 = -\frac{91}{4} < 0\).
Do đó, phương trình này không phải là phương trình mặt cầu.
b) Xét \(x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2y - 2z = 0\):
Ta có \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 1\), \(d = 0\).
Xét hiệu: \(a^2 + b^2 + c^2 - d = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 - 0 = 4 + 1 + 1 = 6 > 0\).
Do đó, phương trình này là phương trình mặt cầu với:
- Tâm: \(I(2; -1; 1)\)
- Bán kính: \(R = \sqrt{6}\)
c) Phương trình chứa các số hạng bậc 3 (\(x^3, y^3, z^3\)) nên không phải là phương trình mặt cầu.
d) Phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 + 5 = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = -5 < 0\) (vô lý) nên không phải là phương trình mặt cầu.
Vùng phủ sóng của thiết bị đặt tại \(A(2; 0; 0)\) bán kính \(R = 1\) là hình cầu tâm \(A\) bán kính \(R = 1\), bao gồm tất cả các điểm \(P\) trong không gian thỏa mãn \(AP \le 1\).
Tính khoảng cách từ thiết bị phát sóng tại \(A(2; 0; 0)\) đến điểm \(M(2; 1; 1)\):
\[AM = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]Vì \(\sqrt{2} \approx 1,414 > 1\), suy ra khoảng cách từ \(A\) đến \(M\) lớn hơn bán kính phủ sóng (\(AM > R\)).
Vậy vị trí \(M(2; 1; 1)\) không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.