Chương V - Bài: Công thức tính góc trong không gian

Giải thích: Theo định nghĩa, góc giữa hai đường thẳng thỏa mãn \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ\) nên \(\cos \varphi \ge 0\). Do đó \(\cos \varphi = \frac{\vert{}\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2\vert{}}{\vert{}\vec{u}_1\vert{} \cdot \vert{}\vec{u}_2\vert{}}\).

Giải thích: Tính sin của góc \(\alpha\) giữa \(d\) và \((P)\):
\(\sin \alpha = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}\vert{}} = \frac{\vert{}1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + \sqrt{2}\cdot 0\vert{}}{\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \frac{0}{2 \cdot \sqrt{2}} = 0\).
Suy ra góc \(\alpha = 0^\circ\) (đường thẳng \(d\) song song hoặc nằm trong mặt phẳng \((P)\)).

Giải thích: Ta có \(\vec{n}_P = (1; 1; -2)\) và \(\vec{n}_Q = (1; -2; 1)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \varphi = \frac{\vert{}\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q\vert{}}{\vert{}\vec{n}_P\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_Q\vert{}} = \frac{\vert{}1\cdot 1 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot 1\vert{}}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}} = \frac{\vert{}-3\vert{}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(\varphi = 60^\circ\).

Giải thích: Ta có \(\vec{u} = (1; 1; \sqrt{2})\) và \(\vec{n}_P = (1; 1; 0)\).
\(\sin \alpha = \frac{\vert{}\vec{u} \cdot \vec{n}_P\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_P\vert{}} = \frac{\vert{}1\cdot 1 + 1\cdot 1 + \sqrt{2}\cdot 0\vert{}}{\sqrt{1^2+1^2+2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Suy ra \(\alpha = 45^\circ\).

Giải thích: VCP của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (1; 2; -1)\); VCP của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (2; 1; 1)\).
\(\cos \varphi = \frac{\vert{}1\cdot 2 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1\vert{}}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} \cdot \sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac{\vert{}3\vert{}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) ? À, tính kĩ lại:
\(1\cdot 2 + 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 = 2 + 2 - 1 = 3\). Do đó \(\cos \varphi = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Giải thích: Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến vuông góc nhau, tức \(\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 0\).
Ta có \(\vec{n}_P = (2; -1; 2)\) và \(\vec{n}_Q = (m; 1; m - 1)\).
\(\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 2m - 1(1) + 2(m - 1) = 0 \Leftrightarrow 2m - 1 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow 4m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{4}\).

Giải thích: Đường thẳng \(d \parallel (P)\) thì góc giữa \(d\) và \((P)\) bằng \(0^\circ\), tương đương \(\vec{u}_d \perp \vec{n}_P \Leftrightarrow \vec{u}_d \cdot \vec{n}_P = 0\) (và điểm thuộc \(d\) không thuộc \((P)\)).
Ta có \(\vec{u}_d = (1; m; 2)\) và \(\vec{n}_P = (1; 2; -1)\).
\(\vec{u}_d \cdot \vec{n}_P = 1(1) + 2m + 2(-1) = 0 \Leftrightarrow 1 + 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).
Thử lại điểm \(A(1; 0; -1) \in d\) thay vào \((P)\): \(1 + 2(0) - (-1) + 1 = 3 \neq 0\) (thỏa mãn không thuộc \((P)\)).

Giải thích: Vì \((P)\) chứa trục \(Ox\) nên phương trình \((P)\) có dạng \(By + Cz = 0\) với \(B^2 + C^2 \neq 0\). VPT của \((P)\) là \(\vec{n}_P = (0; B; C)\).
VPT của \((Q)\) là \(\vec{n}_Q = (1; 1; 1)\).
Theo giả thiết: \(\cos 60^\circ = \frac{\vert{}\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q\vert{}}{\vert{}\vec{n}_P\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_Q\vert{}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{\vert{}B + C\vert{}}{\sqrt{B^2 + C^2} \cdot \sqrt{3}}\).
\(\Leftrightarrow \sqrt{3(B^2 + C^2)} = 2\vert{}B + C\vert{} \Leftrightarrow 3(B^2 + C^2) = 4(B + C)^2\).
\(\Leftrightarrow 3B^2 + 3C^2 = 4B^2 + 8BC + 4C^2 \Leftrightarrow B^2 + 8BC + C^2 = 0\)... (Thực tế nếu xét thử \(y - z = 0\) hoặc \(y + z = 0\), ta có \(\vec{n} = (0; 1; \pm 1)\), khi đó \(\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\)).

Giải thích: Mặt phẳng \((Oxy)\) có VPT \(\vec{k} = (0; 0; 1)\).
Mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n} = (1; 1; \sqrt{2})\).
\(\cos \varphi = \frac{\vert{}\vec{n} \cdot \vec{k}\vert{}}{\vert{}\vec{n}\vert{} \cdot \vert{}\vec{k}\vert{}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2})^2} \cdot 1} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng là \(\varphi = 45^\circ\).

Giải thích: Sàn nhà tầng trệt là mặt phẳng \((Oxy)\) có VPT \(\vec{n}_1 = (0; 0; 1)\).
Mái nhà \((P)\) có VPT \(\vec{n}_2 = (1; 2; 2)\).
Góc nghiêng \(\varphi\) giữa mái nhà và sàn nhà là góc giữa hai mặt phẳng:
\(\cos \varphi = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_2\vert{}} = \frac{\vert{}0\cdot 1 + 0\cdot 2 + 1\cdot 2\vert{}}{1 \cdot \sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}\).
Do đó \(\varphi = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \approx 48,19^\circ \approx 48^\circ\).