📐 BÀI HỌC TOÁN 12: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương V)
1. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) lần lượt có các vectơ chỉ phương (VCP) là \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)\) và \(\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\).
Góc \(\varphi\) giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) (\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ\)) thỏa mãn:
\[ \cos \varphi = |\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)| = \displaystyle\frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \displaystyle\frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \]2. Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng \((P_1)\) và \((P_2)\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến (VPT) là \(\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)\) và \(\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)\).
Góc \(\alpha\) giữa hai mặt phẳng \((P_1)\) và \((P_2)\) (\(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\)) thỏa mãn:
\[ \cos \alpha = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \displaystyle\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \displaystyle\frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng \(\Delta\) có VCP \(\vec{u} = (a; b; c)\) và mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n} = (A; B; C)\).
Góc \(\theta\) giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\) (\(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\)) thỏa mãn:
\[ \sin \theta = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \displaystyle\frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \displaystyle\frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]- Góc giữa Đường thẳng và Mặt phẳng dùng hàm \(\sin \theta\) (chứ KHÔNG DÙNG hàm \(\cos\)).
- Nguyên nhân: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc phụ với góc tạo bởi VCP \(\vec{u}\) và VPT \(\vec{n}\).
4. So sánh & Phân biệt các công thức tính góc
Nhằm tránh nhầm lẫn trong quá trình làm bài thi, hãy lưu ý bảng phân biệt các loại hàm lượng giác dưới đây:
| Đối Tượng | Vectơ Sử Dụng | Hàm Lượng Giác | Dấu Giá Trị Tuyệt Đối |
|---|---|---|---|
| Đường thẳng - Đường thẳng | Hai VCP \(\vec{u}_1, \vec{u}_2\) | \(\cos \varphi\) | Có (tử số) |
| Mặt phẳng - Mặt phẳng | Hai VPT \(\vec{n}_1, \vec{n}_2\) | \(\cos \alpha\) | Có (tử số) |
| Đường thẳng - Mặt phẳng | VCP \(\vec{u}\) và VPT \(\vec{n}\) | \(\sin \theta\) | Có (tử số) |
5. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: \displaystyle\frac{x - 1}{1} = \displaystyle\frac{y + 2}{-1} = \displaystyle\frac{z}{2}\) và \(d_2: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 1 - t \end{cases}\).
• Vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (1; -1; 2)\).
• Vectơ chỉ phương của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (1; 2; -1)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta có:
\[ \cos \varphi = \displaystyle\frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \displaystyle\frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} \] \[ = \displaystyle\frac{|1 - 2 - 2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \displaystyle\frac{|-3|}{6} = \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{2} \]Do \(\cos \varphi = \displaystyle\frac{1}{2}\) nên góc giữa hai đường thẳng là \(\varphi = 60^\circ\).
Trong không gian \(Oxyz\), tính góc giữa hai mặt phẳng \((P): x + y - 2z + 1 = 0\) và \((Q): 2x - y + z - 5 = 0\).
• Mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n}_1 = (1; 1; -2)\).
• Mặt phẳng \((Q)\) có VPT \(\vec{n}_2 = (2; -1; 1)\).
Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\):
\[ \cos \alpha = \displaystyle\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \displaystyle\frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} \] \[ = \displaystyle\frac{|2 - 1 - 2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \displaystyle\frac{|-1|}{6} = \displaystyle\frac{1}{6} \]Vậy \(\alpha = \arccos\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right) \approx 80{,}4^\circ\).
Cho đường thẳng \(d: \displaystyle\frac{x - 2}{2} = \displaystyle\frac{y - 1}{1} = \displaystyle\frac{z + 1}{-2}\) và mặt phẳng \((P): x + y + 4 = 0\).
• Đường thẳng \(d\) có VCP \(\vec{u} = (2; 1; -2)\).
• Mặt phẳng \((P)\) có VPT \(\vec{n} = (1; 1; 0)\).
Gọi \(\theta\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\):
\[ \sin \theta = \displaystyle\frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \displaystyle\frac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} \] \[ = \displaystyle\frac{|2 + 1 + 0|}{\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}} = \displaystyle\frac{3}{3\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \]Do \(\sin \theta = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) nên góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) là \(\theta = 45^\circ\).
6. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Loại Góc | Công Thức Tổng Quát | Ghi Nhớ |
|---|---|---|
| Góc giữa 2 đường thẳng | \(\cos \varphi = \displaystyle\frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\) | Dùng hàm \(\cos\) & 2 VCP |
| Góc giữa 2 mặt phẳng | \(\cos \alpha = \displaystyle\frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\) | Dùng hàm \(\cos\) & 2 VPT |
| Góc giữa ĐT và MP | \(\sin \theta = \displaystyle\frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) | Dùng hàm \(\sin\) & VCP, VPT |
Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1: \displaystyle\frac{x}{1} = \displaystyle\frac{y}{-1} = \displaystyle\frac{z - 1}{2}\) và \(d_2: \displaystyle\frac{x + 1}{-1} = \displaystyle\frac{y}{2} = \displaystyle\frac{z}{1}\).
Bài 2: Cho hai mặt phẳng \((P): 2x - y + 2z - 1 = 0\) và \((Q): x + 2y - 2z + 3 = 0\). Tính góc giữa hai mặt phẳng đó.
Bài 3: Cho đường thẳng \(\Delta: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + \sqrt{2}t \end{cases}\) và mặt phẳng \((P): x - y + \sqrt{2}z - 5 = 0\). Tính góc giữa \(\Delta\) và \((P)\).
Bài 4 (Thực tế): Mái của một ngôi nhà hiện đại được thiết kế gồm hai mặt phẳng dốc \((P_1)\) và \((P_2)\). Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), phương trình của hai mặt dốc lần lượt là \((P_1): 3x + 4y + 12z - 10 = 0\) và \((P_2): 3x - 4y + 12z - 5 = 0\). Tính góc giữa hai mặt dốc của mái nhà.