BÀI 16: CÔNG THỨC TÍNH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
(TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta_1\) là \(\vec{u}_1 = (2; -1; 3)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta_2\) là \(\vec{u}_2 = (-1; 1; 2)\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\). Ta có:

\[\cos \varphi = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|2(-1) + (-1)(1) + 3(2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}}\] \[\cos \varphi = \frac{|-2 - 1 + 6|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{14}\]

Suy ra \(\varphi \approx 70,89^\circ\) (hay khoảng \(70^\circ 53'\)).

Trục \(Oz\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{k} = (0; 0; 1)\).

Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}_P = (1; 2; -1)\).

Gọi \(\alpha\) là góc giữa trục \(Oz\) và mặt phẳng \((P)\). Ta có:

\[\sin \alpha = \frac{|\vec{k} \cdot \vec{n}_P|}{|\vec{k}| \cdot |\vec{n}_P|} = \frac{|0(1) + 0(2) + 1(-1)|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1|}{1 \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}\]

Suy ra góc \(\alpha \approx 24,09^\circ\) (hay khoảng \(24^\circ 5'\)).

Đường thẳng \(\Delta\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (-1; 2; 3)\).

Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (1; 1; 1)\).

Gọi \(\theta\) là góc giữa đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng \((P)\). Ta có:

\[\sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|(-1)(1) + 2(1) + 3(1)|}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 + 2 + 3|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{42}}\]

Suy ra góc \(\theta \approx 38,02^\circ\) (hay khoảng \(38^\circ 1'\)).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) là tâm đáy \(ABCD\), trục \(Ox \parallel AB\), trục \(Oy \parallel AD\), trục \(Oz\) đi qua đỉnh \(S\).

- Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a = 230\text{ m}\). Tọa độ các đỉnh ở đáy:

\[A(115; -115; 0), \quad B(115; 115; 0), \quad C(-115; 115; 0)\]

- Khoảng cách từ tâm \(O\) đến đỉnh \(B\) là \(OB = \frac{230\sqrt{2}}{2} = 115\sqrt{2}\text{ m}\).

- Chiều cao \(h = SO = \sqrt{SB^2 - OB^2} = \sqrt{219^2 - (115\sqrt{2})^2} = \sqrt{47961 - 26450} = \sqrt{21511} \approx 146,67\text{ m}\).

Do đó tọa độ đỉnh \(S(0; 0; \sqrt{21511})\).

- Xác định VTPT của hai mặt phẳng:

+ Mặt phẳng \((SAB)\): Đi qua \(A, B, S\). Ta có \(\vec{AB} = (0; 230; 0)\) và \(\vec{AS} = (-115; 115; \sqrt{21511})\).

\[\vec{n}_1 = [\vec{AB}, \vec{AS}] = (230\sqrt{21511}; 0; 26450) \Rightarrow \text{chọn } \vec{n}_1' = (\sqrt{21511}; 0; 115)\]

+ Mặt phẳng \((SBC)\): Đi qua \(B, C, S\). Ta có \(\vec{BC} = (-230; 0; 0)\) và \(\vec{BS} = (-115; -115; \sqrt{21511})\).

\[\vec{n}_2 = [\vec{BC}, \vec{BS}] = (0; 230\sqrt{21511}; 26450) \Rightarrow \text{chọn } \vec{n}_2' = (0; \sqrt{21511}; 115)\]

- Tính góc \(\phi\) giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):

\[\cos \phi = \frac{|\vec{n}_1' \cdot \vec{n}_2'|}{|\vec{n}_1'| \cdot |\vec{n}_2'|} = \frac{|0 + 0 + 115^2|}{\left(\sqrt{21511 + 115^2}\right)^2} = \frac{13225}{21511 + 13225} = \frac{13225}{34736} \approx 0,38073\]

Suy ra \(\phi \approx 67,62^\circ\) (hay khoảng \(67^\circ 37'\)).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) tại một đỉnh đáy bể, mặt phẳng đáy bể trùng với mặt phẳng \((Oxy)\) (đơn vị trên các trục là cm, cạnh đáy bể \(1\text{ m} = 100\text{ cm}\)).

a) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến đáy bể:

Vì mặt nước có dạng hình bình hành \(ABCD\) nên trong không gian ta có \(\vec{AB} = \vec{DC}\) hay các trung điểm hai đường chéo trùng nhau.

Mối liên hệ giữa tung độ/cao độ các đỉnh hình bình hành trên trục dọc đáy bể là:

\[z_A + z_C = z_B + z_D \Rightarrow z_D = z_A + z_C - z_B\] \[z_D = 40 + 48 - 44 = 44\text{ cm}\]

Vậy khoảng cách từ điểm \(D\) đến đáy bể bằng \(44\text{ cm}\).

b) Tính góc nghiêng của đáy bể so với mặt phẳng nằm ngang:

Giả sử các đỉnh hình bình hành mặt nước có tọa độ trong hệ trục gắn với đáy bể:

\(A(0; 0; 40)\), \(B(100; 0; 44)\), \(C(100; 100; 48)\), \(D(0; 100; 44)\).

Ta có: \(\vec{AB} = (100; 0; 4)\) và \(\vec{AD} = (0; 100; 4)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mặt nước \((ABCD)\) là:

\[\vec{n}_{nước} = [\vec{AB}, \vec{AD}] = (-400; -400; 10000) \Rightarrow \text{chọn } \vec{n} = (-1; -1; 25)\]

Mặt phẳng đáy bể có vectơ pháp tuyến thẳng đứng theo đáy là \(\vec{n}_{đáy} = (0; 0; 1)\).

Góc nghiêng \(\beta\) giữa đáy bể và mặt nước (cũng chính là góc giữa đáy bể và mặt phẳng nằm ngang vì mặt nước luôn nằm ngang) thỏa mãn:

\[\cos \beta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_{đáy}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n}_{đáy}|} = \frac{|0 + 0 + 25|}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 25^2} \cdot 1} = \frac{25}{\sqrt{627}} \approx 0,9984\]

Suy ra \(\beta \approx 3,24^\circ\) (hay khoảng \(3^\circ 14'\)).