📏 BÀI HỌC TOÁN 12: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương V)
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ \(\vec{u} \neq \vec{0}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) nếu giá của \(\vec{u}\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(\Delta\).
- Nếu \(\vec{u}\) là VCP của đường thẳng \(\Delta\) thì \(k\vec{u}\) (\(k \neq 0\)) cũng là một VCP của \(\Delta\). Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Nếu đường thẳng \(\Delta\) đi qua hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) thì \(\vec{AB}\) là một vectơ chỉ phương của \(\Delta\).
2. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) (với \(a^2 + b^2 + c^2 \neq 0\)) có phương trình tham số là:
\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]Trong đó \(t\) là tham số.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu các tọa độ \(a, b, c\) của vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) đều khác \(0\) (\(a \cdot b \cdot c \neq 0\)), thì bằng cách khử tham số \(t\) từ phương trình tham số, ta thu được phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\):
\[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \]4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua \(M_1\) có VCP \(\vec{u}_1\) và đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua \(M_2\) có VCP \(\vec{u}_2\).
\(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) cùng phương (tức \(\vec{u}_1 = k\vec{u}_2\)) và điểm \(M_1 \notin \Delta_2\).
\(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) cùng phương và điểm \(M_1 \in \Delta_2\).
\(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) không cùng phương, hệ phương trình tạo bởi hai phương trình tham số của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có đúng 1 nghiệm \((t; t')\).
\(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) không cùng phương, và hệ phương trình tạo bởi hai phương trình tham số của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) vô nghiệm.
5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng \(\Delta\) có VCP \(\vec{u} = (a; b; c)\) và mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) có VPT \(\vec{n} = (A; B; C)\).
- \(\Delta \parallel (P)\): \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\) (tức \(Aa + Bb + Cc = 0\)) và lấy điểm \(M \in \Delta \Rightarrow M \notin (P)\).
- \(\Delta \subset (P)\): \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\) và lấy điểm \(M \in \Delta \Rightarrow M \in (P)\).
- \(\Delta\) cắt \((P)\): \(\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0\) (tức \(Aa + Bb + Cc \neq 0\)). Đặc biệt, nếu \(\vec{u}\) cùng phương với \(\vec{n}\) thì \(\Delta \perp (P)\).
- Nếu phương trình có 1 nghiệm \(t\) \(\Rightarrow\) \(\Delta\) cắt \((P)\) tại 1 điểm.
- Nếu phương trình vô nghiệm \(\Rightarrow\) \(\Delta \parallel (P)\).
- Nếu phương trình nghiệm đúng với mọi \(t\) \(\Rightarrow\) \(\Delta \subset (P)\).
6. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Trong không gian \(Oxyz\), lập phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(1; 2; -1)\) và \(B(3; 0; 2)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là:
\[ \vec{u} = \vec{AB} = (3 - 1; 0 - 2; 2 - (-1)) = (2; -2; 3) \]Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(1; 2; -1)\) và có VCP \(\vec{u} = (2; -2; 3)\) có:
• Phương trình tham số:
\[ \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - 2t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]• Phương trình chính tắc: (do \(2 \cdot (-2) \cdot 3 \neq 0\))
\[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{3} \]Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(2; -1; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): x - 2y + 3z - 5 = 0\).
Mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P = (1; -2; 3)\).
Vì \(\Delta \perp (P)\) nên đường thẳng \(\Delta\) nhận vectơ pháp tuyến của \((P)\) làm vectơ chỉ phương:
\[ \vec{u}_\Delta = \vec{n}_P = (1; -2; 3) \]Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(2; -1; 3)\) là:
\[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 - 2t \\ z = 3 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]Tìm tọa độ giao điểm \(K\) của đường thẳng \(d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}\) và mặt phẳng \((P): 2x + y + z - 5 = 0\).
Chuyển phương trình đường thẳng \(d\) về dạng tham số:
\[ d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -1 + t \\ z = -t \end{cases} \]Vì \(K \in d\) nên tọa độ điểm \(K\) có dạng \(K(1 + 2t; -1 + t; -t)\).
Thế tọa độ điểm \(K\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\):
\[ 2(1 + 2t) + (-1 + t) + (-t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 4t - 1 + t - t - 5 = 0 \] \[ \Leftrightarrow 4t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \]Với \(t = 1\), thay lại vào tọa độ \(K\) ta được: \(x = 3, y = 0, z = -1\).
Vậy giao điểm là \(K(3; 0; -1)\).
7. Bảng tổng kết công thức & Bài tập tự luyện
| Dạng Phương Trình | Công Thức Biểu Diễn | Điều Kiện / Ghi Nhớ |
|---|---|---|
| Phương trình tham số | \(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\) | Đi qua \(M_0(x_0;y_0;z_0)\), VCP \(\vec{u}=(a;b;c)\) |
| Phương trình chính tắc | \(\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\) | Yêu cầu \(a \cdot b \cdot c \neq 0\) |
| Hai ĐT vuông góc | \(a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0\) | Tích vô hướng 2 VCP bằng \(0\) |
| ĐT vuông góc với MP | \(\vec{u}_\Delta = \vec{n}_P\) | VCP của ĐT chính là VPT của MP |
| ĐT song song với MP | \(\vec{u}_\Delta \cdot \vec{n}_P = 0\) | VCP của ĐT vuông góc với VPT của MP |
Bài 1: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(1; -1; 2)\) và song song với đường thẳng \(\Delta: \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z}{3}\). Viết phương trình tham số của \(d\).
Bài 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(2; 1; -3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): 3x - y + 2z + 1 = 0\).
Bài 3: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng \(d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 1 - t \end{cases}\) và mặt phẳng \((P): x + 2y + 0z - 7 = 0\).
Bài 4 (Thực tế): Trên phần mềm mô phỏng bay, một máy bay cất cánh từ điểm \(A(1; 2; 0)\) theo đường thẳng đi qua điểm \(B(4; 8; 3)\) (đơn vị độ dài tính bằng km). Một trạm quan sát radar đặt tại gốc tọa độ \(O(0; 0; 0)\) có vùng phủ sóng là mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(R = 5\text{ km}\). Máy bay có đi qua vùng phủ sóng của radar hay không?