BÀI 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
(TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u}_d = (2; 1; 3)\).

Vì \(\Delta \parallel d\) nên \(\Delta\) nhận \(\vec{u} = \vec{u}_d = (2; 1; 3)\) làm vectơ chỉ phương.

- Phương trình tham số của \(\Delta\):

\[\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 2 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

- Phương trình chính tắc của \(\Delta\):

\[\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{3}\]

Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n}_P = (1; 3; -1)\).

Do \(\Delta \perp (P)\) nên đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = \vec{n}_P = (1; 3; -1)\).

- Phương trình tham số của \(\Delta\):

\[\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 3t \\ z = 4 - t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

- Phương trình chính tắc của \(\Delta\):

\[\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-1}\]

Vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là \(\vec{u} = \vec{AB} = (1 - 2; -2 - 3; 4 - (-1)) = (-1; -5; 5)\).

Chọn vectơ chỉ phương cùng phương là \(\vec{u}' = (1; 5; -5)\) và đường thẳng đi qua điểm \(A(2; 3; -1)\).

- Phương trình tham số:

\[\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + 5t \\ z = -1 - 5t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]

- Phương trình chính tắc:

\[\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{5} = \frac{z + 1}{-5}\]

a) Chứng minh \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau:

Viết dạng tham số của \(\Delta_2\): \(\begin{cases} x = 8 - s \\ y = -2 + s \\ z = 2 + 2s \end{cases}\)

Xét hệ phương trình giao điểm giữa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\):

\[\begin{cases} 1 + 2t = 8 - s \\ 3 - t = -2 + s \\ 2 + 3t = 2 + 2s \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2t + s = 7 \\ -t - s = -5 \\ 3t - 2s = 0 \end{cases}\]

Cộng hai phương trình đầu ta được \(t = 2\). Thay \(t = 2\) vào phương trình đầu tính được \(s = 3\).

Thử cặp \((t; s) = (2; 3)\) vào phương trình thứ ba: \(3(2) - 2(3) = 0\) (thỏa mãn).

Do đó hệ có nghiệm duy nhất \((t; s) = (2; 3)\), chứng tỏ \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau tại điểm \(M(5; 1; 8)\).

b) Phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\):

\(\Delta_1\) có VTCP \(\vec{u}_1 = (2; -1; 3)\) và \(\Delta_2\) có VTCP \(\vec{u}_2 = (-1; 1; 2)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là:

\[\vec{n}_P = [\vec{u}_1, \vec{u}_2] = \left((-1)\cdot 2 - 3\cdot 1; \, 3\cdot(-1) - 2\cdot 2; \, 2\cdot 1 - (-1)\cdot(-1)\right) = (-5; -7; 1)\]

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M(5; 1; 8)\) có phương trình:

\[-5(x - 5) - 7(y - 1) + 1(z - 8) = 0 \Leftrightarrow 5x + 7y - z - 24 = 0\]

a) Chứng minh \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\):

\(\Delta_1\) đi qua \(A(1; 3; 2)\) có VTCP \(\vec{u} = (3; 1; 2)\).

\(\Delta_2\) đi qua \(B(1; -1; 0)\) có VTCP \(\vec{u} = (3; 1; 2)\).

Thay điểm \(A(1; 3; 2)\) vào phương trình \(\Delta_2\): \(\frac{1-1}{3} = 0 \neq \frac{3+1}{1} = 4\). Do đó \(A \notin \Delta_2\).

Vì hai đường thẳng có cùng VTCP và không trùng điểm nên \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\).

b) Lập phương trình mặt phẳng \((P)\):

Ta có \(\vec{AB} = (1 - 1; -1 - 3; 0 - 2) = (0; -4; -2)\).

Vectơ pháp tuyến của \((P)\) được xác định bởi tích có hướng:

\[\vec{n}_P = [\vec{u}, \vec{AB}] = (1\cdot(-2) - 2\cdot(-4); \, 2\cdot 0 - 3\cdot(-2); \, 3\cdot(-4) - 1\cdot 0) = (6; 6; -12)\]

Chọn vectơ pháp tuyến rút gọn là \(\vec{n} = (1; 1; -2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(1; 3; 2)\) có phương trình:

\[1(x - 1) + 1(y - 3) - 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\]

Vectơ chỉ phương của \(\Delta_1\) là \(\vec{u}_1 = (1; 0; 2)\) và của \(\Delta_2\) là \(\vec{u}_2 = (2; 1; 3)\).

Vì \(\frac{1}{2} \neq \frac{0}{1}\) nên \(\vec{u}_1\) và \(\vec{u}_2\) không cùng phương. Do đó hai đường thẳng chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm:

\[\begin{cases} -1 + t = -1 + 2s \quad (1) \\ 1 = 2 + s \quad (2) \\ 3 + 2t = 1 + 3s \quad (3) \end{cases}\]

Từ (2) suy ra \(s = -1\). Thay \(s = -1\) vào (1) được \(t = -2\).

Thử cặp \((t; s) = (-2; -1)\) vào (3):

VT \(= 3 + 2(-2) = -1\); VP \(= 1 + 3(-1) = -2\). Nhận thấy \(-1 \neq -2\) (vô lý).

Vậy hệ phương trình vô nghiệm, suy ra hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.

a) Kiểm tra tính vuông góc:

\(\Delta_1\) có VTCP \(\vec{u}_1 = (2; -1; 3)\) và \(\Delta_2\) có VTCP \(\vec{u}_2 = (-1; 1; 1)\).

Tính tích vô hướng:

\[\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2(-1) + (-1)(1) + 3(1) = -2 - 1 + 3 = 0\]

Do đó \(\vec{u}_1 \perp \vec{u}_2\), nghĩa là hai con đường này vuông góc với nhau.

b) Kiểm tra nút giao thông khác mức:

Chuyển hai đường thẳng về dạng tham số:

\[\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta_2: \begin{cases} x = 3 - s \\ y = -1 + s \\ z = s \end{cases}\]

Xét hệ phương trình giao điểm:

\[\begin{cases} 1 + 2t = 3 - s \\ -t = -1 + s \\ -1 + 3t = s \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2t + s = 2 \\ t + s = 1 \\ 3t - s = 1 \end{cases}\]

Lấy phương trình (1) trừ (2) được \(t = 1 \Rightarrow s = 0\).

Thử vào phương trình (3): \(3(1) - 0 = 3 \neq 1\) (vô lý).

Hệ vô nghiệm và hai VTCP không cùng phương nên hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) chéo nhau.

Vậy đây là nút giao thông khác mức (cầu vượt hoặc hầm chui).

Quỹ đạo chuyển động của viên đạn là đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1; 3; 4)\) và nhận vectơ vận tốc \(\vec{v} = (2; 1; 6)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của quỹ đạo viên đạn (với thời gian \(t \ge 0\)):

\[\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \\ z = 4 + 6t \end{cases} \quad (t \ge 0)\]

a) Xét mục tiêu \(M\left(7; \frac{7}{2}; 21\right)\):

Thay tọa độ \(M\) vào phương trình tham số:

\[\begin{cases} 1 + 2t = 7 \Rightarrow t = 3 \\ 3 + t = \frac{7}{2} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}\]

Hai giá trị \(t\) khác nhau nên điểm \(M\) không thuộc đường thẳng quỹ đạo. Do đó viên đạn không bắn trúng mục tiêu \(M\).

b) Xét mục tiêu \(N(-3; 1; -8)\):

Thay tọa độ \(N\) vào phương trình tham số:

\[\begin{cases} 1 + 2t = -3 \Rightarrow t = -2 \\ 3 + t = 1 \Rightarrow t = -2 \\ 4 + 6t = -8 \Rightarrow t = -2 \end{cases}\]

Cho ra cùng giá trị \(t = -2\). Tuy nhiên, vì \(t = -2 < 0\) (thời gian âm, thời điểm trước khi bắn) nên viên đạn không bắn trúng mục tiêu \(N\).

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\): gốc \(O\) tại chân cột, tia \(Ox\) hướng Nam, tia \(Oy\) hướng Đông, tia \(Oz\) hướng lên dọc theo thân cột.

- Đỉnh cột nằm trên trục \(Oz\) ở độ cao 6 m nên có tọa độ \(A(0; 0; 6)\).

- Bóng của đỉnh cột trên mặt đất là điểm \(A'\) thuộc mặt phẳng \(Oxy\) (\(z = 0\)). Khoảng cách từ chân cột đến bóng đỉnh cột là \(OA' = 6 \cdot \cot 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) m.

- Tọa độ điểm bóng \(A'\):

\[x_{A'} = OA' \cdot \cos 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}\] \[y_{A'} = OA' \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\] \[z_{A'} = 0\]

Do đó \(A'(\sqrt{3}; 3; 0)\).

- Tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột \(A\) và điểm bóng \(A'\), có vectơ chỉ phương là:

\[\vec{u} = \vec{AA'} = (\sqrt{3}; 3; -6)\]

- Phương trình tham số đường thẳng chứa tia nắng mặt trời:

\[\begin{cases} x = \sqrt{3}t \\ y = 3t \\ z = 6 - 6t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]