BÀI 14: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
Trục \(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\vec{i} = (1; 0; 0)\).
Mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) nên nhận \(\vec{i} = (1; 0; 0)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng đi qua \(M(1; 2; -1)\) là:
\(1(x - 1) + 0(y - 2) + 0(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0\).
a) Tọa độ các điểm \(C, B', D'\).
b) Viết phương trình mặt phẳng \((CB'D')\).
a) Tìm tọa độ các đỉnh:
- Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Ta có \(\vec{AB} = (-1; 3; 1)\). Gọi \(C(x_C; y_C; z_C)\) thì \(\vec{DC} = (x_C - 2; y_C + 1; z_C - 1)\).
Suy ra: \(x_C - 2 = -1 \Rightarrow x_C = 1\); \(y_C + 1 = 3 \Rightarrow y_C = 2\); \(z_C - 1 = 1 \Rightarrow z_C = 2\). Do đó \(C(1; 2; 2)\).
- Vì \(\vec{AA'} = (-1; 2; -1)\), tịnh tiến các đỉnh đáy dưới lên đáy trên theo \(\vec{AA'}\):
+ \(B' = B + \vec{AA'} = (0 - 1; 2 + 2; 4 - 1) = (-1; 4; 3)\).
+ \(D' = D + \vec{AA'} = (2 - 1; -1 + 2; 1 - 1) = (1; 1; 0)\).
b) Phương trình mặt phẳng \((CB'D'):\)
Ta có \(\vec{CB'} = (-2; 2; 1)\) và \(\vec{CD'} = (0; -1; -2)\).
Vectơ pháp tuyến của \((CB'D')\) là \(\vec{n} = [\vec{CB'}, \vec{CD'}] = (-3; -4; 2)\).
Phương trình mặt phẳng \((CB'D')\) đi qua \(C(1; 2; 2)\) là:
\(-3(x - 1) - 4(y - 2) + 2(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0\).
Vectơ pháp tuyến của \((Q)\) và \((R)\) lần lượt là \(\vec{n}_Q = (3; 2; -1)\) và \(\vec{n}_R = (1; 1; -1)\).
Vì \((P) \perp (Q)\) và \((P) \perp (R)\) nên vectơ pháp tuyến của \((P)\) là:
\(\vec{n}_P = [\vec{n}_Q, \vec{n}_R] = (-1; 2; 1)\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(1; -1; 5)\) là:
\(-1(x - 1) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - z + 2 = 0\).
Vectơ chỉ phương của \(Ox\) là \(\vec{i} = (1; 0; 0)\) và VPT của \((Q)\) là \(\vec{n}_Q = (1; 2; -3)\).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là \(\vec{n} = [\vec{i}, \vec{n}_Q] = (0; 3; 2)\).
Phương trình mặt phẳng đi qua \(M(2; 3; -1)\) là:
\(0(x - 2) + 3(y - 3) + 2(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0\).
Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
\(d(O, (P)) = \frac{|2(0) + 2(0) - 0 + 1|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}\).
Cả hai mặt phẳng đều có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 1; 1)\).
Hệ số tự do \(D_1 = 2 \neq D_2 = 6\), suy ra \((P) \parallel (Q)\).
Lấy điểm \(A(0; 0; -2) \in (P)\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
\(d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = \frac{|0 + 0 - 2 + 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}\).
a) Chứng minh \((P) \perp (Q)\).
b) Tìm điểm \(M \in Ox\) cách đều hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
a) Ta có \(\vec{n}_P = (1; 3; -1)\) và \(\vec{n}_Q = (1; -1; -2)\).
Tích vô hướng: \(\vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1(1) + 3(-1) + (-1)(-2) = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow (P) \perp (Q)\).
b) Điểm \(M \in Ox \Rightarrow M(x_0; 0; 0)\).
Vì \(d(M, (P)) = d(M, (Q))\) nên:
\(\frac{|x_0|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2}} = \frac{|x_0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} \Leftrightarrow \frac{|x_0|}{\sqrt{11}} = \frac{|x_0 + 1|}{\sqrt{6}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{6}|x_0| = \sqrt{11}|x_0 + 1| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sqrt{6}x_0 = \sqrt{11}(x_0 + 1) \\ \sqrt{6}x_0 = -\sqrt{11}(x_0 + 1) \end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow x_0 = \frac{-\sqrt{11}}{\sqrt{11} - \sqrt{6}} = \frac{-11 - \sqrt{66}}{5}\) hoặc \(x_0 = \frac{-\sqrt{11}}{\sqrt{11} + \sqrt{6}} = \frac{-11 + \sqrt{66}}{5}\).
Ý tưởng này không thể thực hiện được.
Giải thích: Xét khối chóp đều \(S.ABCD\). Giả sử hai mặt bên kề nhau \((SAB) \perp (SBC)\). Khi đó góc tạo bởi hai mặt bên đối diện \((SAB)\) và \((SCD)\) phải thỏa mãn tính chất hình học không gian. Nếu 4 mặt bên đôi một vuông góc tại đỉnh \(S\), tổng các góc phẳng tại đỉnh \(S\) sẽ vượt quá \(360^\circ\) (hoặc tam giác vuông không tạo thành chóp đều được khép kín), dẫn tới vô lý.
Mặt phẳng sàn nhà \((Oxy)\) có phương trình \(z = 0\) (VPT \(\vec{n}_1 = (0; 0; 1)\)).
Mặt phẳng trần tầng 1 \((P_1)\) có phương trình \(z - 1 = 0\) (VPT \(\vec{n}_2 = (0; 0; 1)\)).
Mặt phẳng mái tầng 2 \((P_2)\) có VPT \(\vec{n}_3 = (1; 1; 50)\).
Nhận xét: Hai mặt phẳng chứa sàn nhà \((Oxy)\) và trần tầng 1 \((P_1)\) song song với nhau vì có cùng vectơ pháp tuyến và hằng số tự do khác nhau.
Trong quá trình quay cối xay, các thanh gỗ \(AB\) và \(PQ\) luôn nằm trên mặt phẳng nằm ngang (song song với mặt phẳng \(Oxy\)).
Do đó, vectơ vị trí \(\vec{OP}\) và vectơ lực tác dụng \(\vec{F}\) đều có phương nằm trong (hoặc song song với) mặt phẳng nằm ngang.
Theo định nghĩa tích có hướng, vectơ moment lực \(\vec{M} = [\vec{OP}, \vec{F}]\) vuông góc với cả \(\vec{OP}\) và \(\vec{F}\).
Vì \(\vec{M}\) vuông góc với mặt phẳng nằm ngang nên giá của vectơ \(\vec{M}\) phải có phương thẳng đứng (vuông góc với mặt đất).