Lời giải:

Phương trình tổng quát mặt phẳng có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$. Vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}$ có tọa độ $(A,B,C)$.

Ở đây $A=2,\;B=-3,\;C=4$. Vậy $$\mathbf{n} = (2,\,-3,\;4).$$

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $\mathbf{n}=(A,B,C)$ đi qua điểm $P(x_0,y_0,z_0)$ là $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$

Thay $A=3,B=-2,C=5$ và $P(1,2,-1)$ ta được $$3(x-1)-2(y-2)+5(z+1)=0.$$ Mở ngoặc (nếu cần): $$3x-3 -2y+4 +5z+5 =0 \;\Rightarrow\; 3x -2y +5z +6 = 0.$$ (Bạn có thể để ở dạng gốc hoặc dạng rút gọn trên.)

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến \(\mathbf{n}\) bằng tích có hướng (tích-vector) $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$.

Tính $$\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] 1 & 0 & 1 \\[2pt] 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-2,\,1,\,2).$$

Do đó phương trình là $$-2(x-0)+1(y-1)+2(z-2)=0,$$ hay rút gọn: $$-2x + y -1 + 2z -4 =0 \;\Rightarrow\; -2x + y + 2z -5 =0.$$ (Có thể nhân cả hai vế với -1 nếu muốn hệ số dương hơn.)

Lời giải:

Nếu hai mặt phẳng song song thì vectơ pháp tuyến của chúng tỉ lệ (ở đây có thể lấy bằng nhau). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tham chiếu là $\mathbf{n}=(4,-1,2)$.

Phương trình dạng: $$4(x-2) -1(y-0) + 2(z-1) = 0.$$ Hay rút gọn: $$4x -8 - y + 2z -2 = 0 \;\Rightarrow\; 4x - y + 2z -10 = 0.$$ Đây là phương trình mặt phẳng đi qua $P$ và song song mặt phẳng đã cho.

Lời giải:

Lấy $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$. Vectơ pháp tuyến: $$\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -1&1&0\\ -1&0&1\end{vmatrix} =(1,1,1).$$

Phương trình tổng quát: $1(x-1)+1(y-0)+1(z-0)=0$ => $x+y+z-1=0$.

Lời giải:

Một mặt phẳng chứa trục Ox nghĩa là mọi điểm $(x,0,0)$ nằm trong mặt phẳng. Với phương trình $Ax+By+Cz+D=0$, đặt $(x,0,0)$ vào phải đúng với mọi $x$, nên hệ số của $x$ (A) phải bằng 0 và $D$ phải bằng 0. Do đó phương trình có dạng $By + Cz =0$.

Vì mặt phẳng phải chứa $P(0,2,3)$, ta có $$B\cdot 2 + C\cdot 3 = 0.$$ Một lựa chọn đơn giản là $B=3,\;C=-2$ (nhân tỷ lệ bất kì cũng được). Vậy phương trình: $$3y - 2z = 0.$$ (Bạn có thể chia / nhân để có dạng khác tương đương.)

Lời giải:

Công thức khoảng cách từ điểm $P(x_0,y_0,z_0)$ đến mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ là $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

Thay $P(2,-1,3)$ và $A=2,B=-1,C=2,D=-3$: $$|2\cdot2 + (-1)(-1) + 2\cdot3 -3| = |4+1+6-3| = |8| = 8.$$ Mẫu số: $\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3.$

Vậy $$d = \frac{8}{3}.$$

Lời giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (cùng vectơ $\mathbf{v}$) bằng: $$d = \frac{\|(\overrightarrow{B A}) \times \mathbf{v}\|}{\|\mathbf{v}\|},$$ trong đó $\overrightarrow{BA}=B-A$.

Ở đây $\overrightarrow{BA}=(1,0,1)$, $\mathbf{v}=(1,2,-1)$. Ta có $$(\overrightarrow{BA})\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&0&1\\ 1&2&-1\end{vmatrix} =(-2,\,2,\,2).$$ Độ dài: $\|(-2,2,2)\|=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$ Còn $\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.$

Do đó $$d=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}= \sqrt{2}.$$ (Khoảng cách khoảng $1.414$.)

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến: $$\mathbf{n}_1=(2,-4,6),\quad \mathbf{n}_2=(1,-2,3).$$ Ta thấy $\mathbf{n}_1 = 2\mathbf{n}_2$, tức hai vectơ pháp tuyến tỉ lệ --> hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau.

Để kiểm tra có trùng nhau không, so sánh hệ số hằng số D: nếu $\pi_1 = k\pi_2$ toàn bộ (k=2) thì hai phương trình phải tương ứng. Nhân $\pi_2$ với 2: $2x -4y +6z +10 =0$, khác với $\pi_1$ vì hằng số là $+10$ thay vì $-3$. Do đó hai mặt phẳng song song nhưng khác nhau (không trùng nhau).

Lời giải (phương pháp tọa độ hóa):

Gọi $\mathbf{n}=(1,2,2)$ là vectơ pháp tuyến. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với mặt phẳng có phương trình tham số $$\ell: \; X(t) = P + t\mathbf{n} = (1+t,\; 0+2t,\; 0+2t).$$

Giao điểm $Q$ của $\ell$ với $\pi$ tìm bằng cách thay tọa độ $X(t)$ vào phương trình mặt phẳng: $$(1+t) + 2(2t) + 2(2t) - 7 = 0.$$ Tính: $1+t +4t +4t -7 = 0 \Rightarrow 9t -6 = 0 \Rightarrow t = \tfrac{6}{9} = \tfrac{2}{3}.$

Vậy tọa độ $Q$: $$Q = \Big(1+\tfrac{2}{3},\; \tfrac{4}{3},\; \tfrac{4}{3}\Big) = \Big(\tfrac{5}{3},\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\Big).$$ Khoảng cách $d = \|PQ\| = |t|\cdot\|\mathbf{n}\| = \tfrac{2}{3}\cdot\sqrt{1^2+2^2+2^2} = \tfrac{2}{3}\cdot 3 = 2.$

Kiểm tra bằng công thức khoảng cách nhanh: $$d=\frac{|1\cdot1+2\cdot0+2\cdot0 -7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{|-6|}{3}=2.$$

Do đó kết quả trùng khớp: d = 2.