BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV - TOÁN 12 (KNTT)

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV - TOÁN 12

CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC (KNTT)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)

Câu 1 (Nhận biết - Nguyên hàm): Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x^4\) là:

A. \(\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C\) B. \(\int x^4 dx = 4x^3 + C\) C. \(\int x^4 dx = \frac{x^4}{4} + C\) D. \(\int x^4 dx = x^5 + C\)

Lời giải chi tiết:
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản lũy thừa: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (\(n \ne -1\)). Với \(n = 4\), ta có \(\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C\).
Đáp án đúng: A

Câu 2 (Nhận biết - Nguyên hàm): Khẳng định nào sau đây là **sai**?

A. \(\int \cos x dx = \sin x + C\) B. \(\int e^x dx = e^x + C\) C. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\) (\(x \ne 0\)) D. \(\int \sin x dx = \cos x + C\)

Lời giải chi tiết:
Theo bảng nguyên hàm cơ bản, ta có \(\int \sin x dx = -\cos x + C\). Do đó phương án D phát biểu sai.
Đáp án đúng: D

Câu 3 (Thông hiểu - Nguyên hàm): Tìm họ nguyên hàm \(I = \int (3x^2 - 2x + 1) dx\).

A. \(x^3 - 2x^2 + x + C\) B. \(6x - 2 + C\) C. \(x^3 - x^2 + x + C\) D. \(3x^3 - 2x^2 + x + C\)

Lời giải chi tiết:
\(\int (3x^2 - 2x + 1) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C\).
Đáp án đúng: C

Câu 4 (Thông hiểu - Nguyên hàm): Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = 3x^2 - 2\) và \(f(1) = 4\). Khi đó \(f(2)\) bằng:

A. \(f(2) = 6\) B. \(f(2) = 10\) C. \(f(2) = 8\) D. \(f(2) = 9\)

Lời giải chi tiết:
\(f(x) = \int (3x^2 - 2) dx = x^3 - 2x + C\).
Vì \(f(1) = 4 \Rightarrow 1^3 - 2(1) + C = 4 \Rightarrow C = 5\).
Vậy \(f(x) = x^3 - 2x + 5 \Rightarrow f(2) = 2^3 - 2(2) + 5 = 9\).
Đáp án đúng: D

Câu 5 (Nhận biết - Tích phân): Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a; b]\) và có một nguyên hàm là \(F(x)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\int_a^b f(x) dx = F(a) - F(b)\) B. \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\) C. \(\int_a^b f(x) dx = F'(b) - F'(a)\) D. \(\int_a^b f(x) dx = f(b) - f(a)\)

Lời giải chi tiết:
Theo định lý Newton - Leibniz: \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\).
Đáp án đúng: B

Câu 6 (Nhận biết - Tích phân): Giá trị của tích phân \(\int_0^1 2x dx\) bằng:

A. \(1\) B. \(2\) C. \(0\) D. \(\frac{1}{2}\)

Lời giải chi tiết:
\(\int_0^1 2x dx = \left. x^2 \right|_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1\).
Đáp án đúng: A

Câu 7 (Thông hiểu - Tích phân): Cho \(\int_0^2 f(x) dx = 3\) và \(\int_2^5 f(x) dx = 4\). Giá trị của \(\int_0^5 f(x) dx\) bằng:

A. \(1\) B. \(-1\) C. \(7\) D. \(12\)

Lời giải chi tiết:
Theo tính chất cộng được của tích phân: \(\int_0^5 f(x) dx = \int_0^2 f(x) dx + \int_2^5 f(x) dx = 3 + 4 = 7\).
Đáp án đúng: C

Câu 8 (Thông hiểu - Tích phân): Tính tích phân \(I = \int_0^{\pi/2} \cos x dx\).

A. \(-1\) B. \(0\) C. \(\frac{\pi}{2}\) D. \(1\)

Lời giải chi tiết:
\(I = \int_0^{\pi/2} \cos x dx = \left. \sin x \right|_0^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1\).
Đáp án đúng: D

Câu 9 (Nhận biết - Ứng dụng hình học): Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) (\(a < b\)) được tính bởi công thức:

A. \(S = \int_a^b |f(x)| dx\) B. \(S = \int_a^b f(x) dx\) C. \(S = \pi \int_a^b f^2(x) dx\) D. \(S = \left| \int_a^b f(x) dx \right|\)

Lời giải chi tiết:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành được tính bằng công thức \(S = \int_a^b |f(x)| dx\).
Đáp án đúng: A

Câu 10 (Nhận biết - Ứng dụng hình học): Thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) quanh trục \(Ox\) được tính bằng công thức:

A. \(V = \int_a^b f(x) dx\) B. \(V = \int_a^b |f(x)| dx\) C. \(V = \pi \int_a^b f^2(x) dx\) D. \(V = \pi \int_a^b f(x) dx\)

Lời giải chi tiết:
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục \(Ox\): \(V = \pi \int_a^b f^2(x) dx\).
Đáp án đúng: C

Câu 11 (Thông hiểu - Ứng dụng hình học): Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^2 - 4\) và trục hoành bằng:

A. \(\frac{16}{3}\) B. \(\frac{32}{3}\) C. \(\frac{8}{3}\) D. \(8\)

Lời giải chi tiết:
Hoành độ giao điểm: \(x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\).
\(S = \int_{-2}^2 |x^2 - 4| dx = -\int_{-2}^2 (x^2 - 4) dx = \frac{32}{3}\).
Đáp án đúng: B

Câu 12 (Thông hiểu - Ứng dụng hình học): Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x\) và parabol \(y = x^2\) quanh trục \(Ox\) bằng:

A. \(\frac{\pi}{15}\) B. \(\frac{\pi}{3}\) C. \(\frac{3\pi}{10}\) D. \(\frac{2\pi}{15}\)

Lời giải chi tiết:
Giao điểm: \(x = x^2 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\).
\(V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = \pi \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = \frac{2\pi}{15}\).
Đáp án đúng: D

PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Nguyên hàm): Cho hàm số \(f(x) = 2x + 3\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Hàm số \(f(x)\) chỉ xác định với \(x > 0\)
b	Họ nguyên hàm của hàm số là \(\int (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C\)
c	Nguyên hàm \(F(x)\) thỏa mãn \(F(1) = 5\) có dạng \(F(x) = x^2 + 3x + 1\)
d	Giá trị của \(F(2) = 12\)

Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: Hàm số đa thức xác định trên \(\mathbb{R}\).
b) **ĐÚNG**: \(\int (2x+3)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C\).
c) **ĐÚNG**: \(F(1) = 1^2 + 3(1) + C = 5 \Rightarrow 4 + C = 5 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F(x) = x^2 + 3x + 1\).
d) **SAI**: \(F(2) = 2^2 + 3(2) + 1 = 4 + 6 + 1 = 11 \neq 12\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S

Câu 2 (Thông hiểu - Tích phân): Cho tích phân \(I = \int_0^1 x^2 dx\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Hàm số \(f(x) = x^2\) liên tục trên \([0; 1]\)
b	Giá trị của tích phân \(I = 1\)
c	Tích phân \(I = \left. \frac{x^3}{3} \right\|_0^1\)
d	Biểu thức \(3I + 2 = 5\) là mệnh đề sai

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: Hàm đa thức liên tục trên mọi đoạn.
b) **SAI**: \(I = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^1 = \frac{1}{3} \neq 1\).
c) **ĐÚNG**: Nguyên hàm của \(x^2\) là \(\frac{x^3}{3}\).
d) **SAI**: \(3I + 2 = 3\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = 1 + 2 = 3 = 5\) là mệnh đề sai? Khoan, \(3(1/3) + 2 = 3\), vậy biểu thức \(3I+2 = 3\) nên mệnh đề \(3I+2 = 5\) thực chất là mệnh đề **sai**. Phát biểu "Biểu thức \(3I+2=5\) là mệnh đề sai" nghĩa là câu khẳng định đó đúng? Hãy cẩn thận. Sửa lại ý d thành dạng tính toán trực tiếp cho rõ: \(3I = 1\).
*Sửa lại ý d: \(3I = 2\).* -> **SAI** (vì \(3I = 1\)).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S

Câu 3 (Thực tế - Tích phân): Một vật chuyển động thẳng với vận tốc \(v(t) = 3t^2 - 2t\) (m/s), trong đó \(t\) tính bằng giây. Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) giây là \(8 \text{ m/s}\)
b	Quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu tiên là \(10 \text{ m}\)
c	Gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 1\) giây là \(a(1) = 1 \text{ m/s}^2\)
d	Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 1\) đến \(t = 3\) giây là \(18 \text{ m}\)

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(v(2) = 3(2^2) - 2(2) = 12 - 4 = 8 \text{ m/s}\).
b) **SAI**: Quãng đường trong 2 giây đầu: \(s = \int_0^2 (3t^2 - 2t) dt = \left. (t^3 - t^2) \right|_0^2 = 8 - 4 = 4 \text{ m}\).
c) **SAI**: Gia tốc \(a(t) = v'(t) = 6t - 2 \Rightarrow a(1) = 6(1) - 2 = 4 \text{ m/s}^2\).
d) **ĐÚNG**: \(s = \int_1^3 (3t^2 - 2t) dt = \left. (t^3 - t^2) \right|_1^3 = (27 - 9) - (1 - 1) = 18 \text{ m}\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-S, d-Đ

Câu 4 (Thông hiểu - Ứng dụng hình học): Cho hình phẳng \(H\) giới hạn bởi Parabol \(y = x^2\) và đường thẳng \(y = 2x\). Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(x = 0\) và \(x = 1\)
b	Diện tích hình phẳng \(H\) được tính bởi công thức \(S = \int_0^2 (2x - x^2) dx\)
c	Diện tích hình phẳng \(H\) bằng \(\frac{2}{3}\)
d	Diện tích hình phẳng \(H\) bằng \(\frac{4}{3}\)

Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2 = 2x \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
a) **SAI**: Giao điểm là \(x = 0\) và \(x = 2\).
b) **ĐÚNG**: \(S = \int_0^2 (2x - x^2) dx\).
c) **SAI**: \(S = \left. \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \neq \frac{2}{3}\).
d) **ĐÚNG**: Diện tích \(S = \frac{4}{3}\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ

PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Nguyên hàm): Cho hàm số \(f(x) = 3x^2 + 2x\). Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\) thỏa mãn \(F(1) = 5\). Tính giá trị \(F(2)\).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(F(x) = x^3 + x^2 + C\). \(F(1) = 2 + C = 5 \Rightarrow C = 3\).
\(F(2) = 2^3 + 2^2 + 3 = 15\).
Kết quả: 15

Câu 2 (Thực tế - Nguyên hàm): Tốc độ tăng trưởng doanh số của một công ty (triệu đồng/tháng) là \(S'(t) = 4t + 3\), với \(t\) là thời gian tính bằng tháng. Biết doanh số ban đầu tại \(t = 0\) là 10 triệu đồng. Tính doanh số của công ty sau 3 tháng (\(t = 3\)) (triệu đồng).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(S(t) = \int (4t + 3) dt = 2t^2 + 3t + C\).
\(S(0) = 10 \Rightarrow C = 10\).
\(S(3) = 2(3^2) + 3(3) + 10 = 18 + 9 + 10 = 37\) triệu đồng.
Kết quả: 37

Câu 3 (Thông hiểu - Tích phân): Tính giá trị của tích phân \(I = \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) dx\).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(I = \left. (x^3 - x^2 + x) \right\vert{}_0^1 = 1 - 0 = 1\).
Kết quả: 1

Câu 4 (Thực tế - Tích phân): Một ô tô chuyển động thẳng với vận tốc \(v(t) = 2t + 1\) (m/s). Tính quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm \(t = 1\) đến \(t = 4\) giây (mét).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(s = \int_1^4 (2t + 1) dt = \left. (t^2 + t) \right\vert{}_1^4 = (16 + 4) - (1 + 1) = 20 - 2 = 18\) m.
Kết quả: 18

Câu 5 (Thông hiểu - Ứng dụng hình học): Tính diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x^2 - 2x\) và trục hoành \(y = 0\).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Giao điểm: \(x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2\).
\(S = \int_0^2 \vert{}x^2 - 2x\vert{} dx = -\int_0^2 (x^2 - 2x) dx = -\left. \left(\frac{x^3}{3} - x^2\right) \right\vert{}_0^2 = -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = \frac{4}{3}\).
Kết quả: 4/3

Câu 6 (Thực tế - Ứng dụng hình học): Một vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\), trục hoành và đường thẳng \(x = 2\) quanh trục \(Ox\). Tính thể tích \(V\) của vật thể đó theo đơn vị \(\pi\).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(V = \pi \int_0^2 x^2 dx = \pi \left. \frac{x^3}{3} \right\vert{}_0^2 = \frac{8\pi}{3}\).
Hệ số đứng trước \(\pi\) là \(\frac{8}{3}\).
Kết quả: 8/3