BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
A - TRẮC NGHIỆM
Ta có \(\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Do đó một nguyên hàm của hàm số là \(F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x\).
Chọn D.
Ta có \(\int 2e^x \, dx = 2e^x + C\).
Chọn D.
Họ nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F(x) = \int (e^x - 3e^{-x}) \, dx = e^x + 3e^{-x} + C\).
Vì \(F(0) = 4\) nên: \(e^0 + 3e^0 + C = 4 \Leftrightarrow 1 + 3 + C = 4 \Leftrightarrow C = 0\).
Vậy \(F(x) = e^x + 3e^{-x}\).
Chọn B (hoặc C).
Áp dụng định lý cơ bản của giải tích: \(\int_{1}^{3} f'(x) \, dx = f(3) - f(1)\).
Thay số vào ta có: \(4 = f(3) - 16 \Rightarrow f(3) = 20\).
Chọn A.
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2 - 2x = -x^2 + 4x \Leftrightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array}\right.\)
Trực tiếp trên đoạn \([0; 3]\), ta có \(-x^2 + 4x \ge x^2 - 2x\).
Do đó diện tích hình phẳng là:
\(S = \int_{0}^{3} [(-x^2 + 4x) - (x^2 - 2x)] \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx = \left. \left( 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \right|_{0}^{3} = (27 - 18) - 0 = 9\).
Chọn B.
Biết \(\int_{-2}^{-1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = -\frac{22}{15}\) và \(\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{76}{15}\). Khi đó, diện tích của hình phẳng được tô màu là
Dựa vào đồ thị Hình 4.32:
- Trên các đoạn \([-2; -1]\) và \([1; 2]\), đồ thị nằm phía dưới trục hoành (\(f(x) \le 0\)).
- Trên đoạn \([-1; 1]\), đồ thị nằm phía trên trục hoành (\(f(x) \ge 0\)).
Do đó diện tích hình phẳng tô màu gồm 3 phần:
\(S = \int_{-2}^{-1} -f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} -f(x) \, dx\)
\(= -\left( -\frac{22}{15} \right) + \frac{76}{15} - \left( -\frac{22}{15} \right) = \frac{22 + 76 + 22}{15} = \frac{120}{15} = 8\).
Chọn A.
Thể tích khối tròn xoay thu được là:
\(V = \pi \int_{-1}^{1} \left(\sqrt{1 - x^2}\right)^2 dx = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx = \pi \left. \left( x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{1} = \pi \left[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) \right] = \frac{4\pi}{3}\).
Chọn D.
Ta có hàm vận tốc \(v(t) = \int a(t) \, dt = \int (3t^2 + t) \, dt = t^3 + \frac{t^2}{2} + C\).
Vì vận tốc ban đầu \(v(0) = 2\) nên \(C = 2\). Do đó \(v(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} + 2\).
Vận tốc của vật sau 2 giây là: \(v(2) = 2^3 + \frac{2^2}{2} + 2 = 8 + 2 + 2 = 12\text{ (m/s)}\).
Chọn C.
B - TỰ LUẬN
a) \(y = 2^x - \frac{1}{x}\);
b) \(y = x\sqrt{x} - 3\cos x - \frac{2}{\sin^2 x}\).
a) \(\int \left( 2^x - \frac{1}{x} \right) dx = \frac{2^x}{\ln 2} - \ln|x| + C\).
b) \(\int \left( x^{\frac{3}{2}} - 3\cos x - \frac{2}{\sin^2 x} \right) dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 3\sin x + 2\cot x + C = \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - 3\sin x + 2\cot x + C\).
Họ nguyên hàm của \(f(x)\) là: \(F(x) = \int \left( 2\sin x + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = -2\cos x - \cot x + C\).
Theo giả thiết \(F\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1\):
\(-2\cos \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4} + C = -1 \Leftrightarrow -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 + C = -1 \Leftrightarrow -\sqrt{2} - 1 + C = -1 \Leftrightarrow C = \sqrt{2}\).
Vậy nguyên hàm cần tìm là: \(F(x) = -2\cos x - \cot x + \sqrt{2}\).
Chọn chiều dương hướng thẳng đứng lên trên. Gia tốc chuyển động của viên đạn hướng ngược chiều dương nên \(a(t) = -9,8\text{ (m/s}^2\text{)}\).
Vận tốc của viên đạn theo thời gian là: \(v(t) = \int -9,8 \, dt = -9,8t + C\).
Tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), vận tốc \(v(0) = 30 \Rightarrow C = 30\). Do đó \(v(t) = 30 - 9,8t\).
Vận tốc của viên đạn tại thời điểm \(t = 2\) giây là: \(v(2) = 30 - 9,8(2) = 30 - 19,6 = 10,4\text{ (m/s)}\).
Con cá bơi ngược dòng sông với vận tốc \(v(t) = -\frac{2t}{5} + 4\). Nó bơi ngày càng chậm lại và dừng hẳn bơi ngược dòng khi vận tốc \(v(t) = 0\):
\(-\frac{2t}{5} + 4 = 0 \Leftrightarrow \frac{2t}{5} = 4 \Leftrightarrow t = 10\text{ (giờ)}\).
Khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được chính là quãng đường bơi được từ \(t = 0\) đến \(t = 10\) giờ:
\(S = \int_{0}^{10} \left( -\frac{2t}{5} + 4 \right) dt = \left. \left( -\frac{t^2}{5} + 4t \right) \right|_{0}^{10} = \left( -\frac{100}{5} + 40 \right) - 0 = -20 + 40 = 20\text{ (km)}\).
Vậy khoảng cách xa nhất mà con cá bơi được là 20 km.
a) \(\int_{1}^{4} (x^2 - 2\sqrt{x}) \, dx\);
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x) \, dx\);
c) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x}\);
d) \(\int_{1}^{4} \frac{x - 3}{\sqrt{x}} \, dx\).
a) \(\int_{1}^{4} (x^2 - 2x^{\frac{1}{2}}) \, dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right) \right|_{1}^{4} = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3}x\sqrt{x} \right) \right|_{1}^{4}\)
\(= \left( \frac{64}{3} - \frac{32}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \right) = \frac{32}{3} - \left( -\frac{3}{3} \right) = \frac{32}{3} + 1 = \frac{35}{3}\).
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \sin x) \, dx = \left. (\sin x + \cos x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}) - (\sin 0 + \cos 0) = (1 + 0) - (0 + 1) = 0\).
c) \(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\sin^2 x} = -\left. \cot x \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = -\left( \cot \frac{\pi}{3} - \cot \frac{\pi}{4} \right) = -\left( \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}\).
d) \(\int_{1}^{4} \frac{x - 3}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{4} \left( \sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt{x}} \right) dx = \int_{1}^{4} (x^{\frac{1}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}}) \, dx\)
\(= \left. \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 6\sqrt{x} \right) \right|_{1}^{4} = \left( \frac{16}{3} - 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 6 \right) = -\frac{20}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = -\frac{4}{3}\).
Trên đoạn \([0; 1]\), ta luôn có \(e^x \ge x + 1 > x\).
Diện tích hình phẳng là:
\(S = \int_{0}^{1} (e^x - x) \, dx = \left. \left( e^x - \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{1} = \left( e^1 - \frac{1}{2} \right) - (e^0 - 0) = e - \frac{1}{2} - 1 = e - \frac{3}{2}\).
a) \(y = 1 - x^2\), \(y = 0\), \(x = -1\), \(x = 1\);
b) \(y = \sqrt{25 - x^2}\), \(y = 0\), \(x = 2\), \(x = 4\).
a) Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^2 \, dx = \pi \int_{-1}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) \, dx = \pi \left. \left( x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{x^5}{5} \right) \right|_{-1}^{1}\)
\(= \pi \left[ \left( 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} \right) - \left( -1 + \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \right) \right] = \pi \left( \frac{8}{15} - \left( -\frac{8}{15} \right) \right) = \frac{16\pi}{15}\).
b) Thể tích khối tròn xoay là:
\(V = \pi \int_{2}^{4} \left(\sqrt{25 - x^2}\right)^2 dx = \pi \int_{2}^{4} (25 - x^2) \, dx = \pi \left. \left( 25x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{2}^{4}\)
\(= \pi \left[ \left( 100 - \frac{64}{3} \right) - \left( 50 - \frac{8}{3} \right) \right] = \pi \left( \frac{236}{3} - \frac{142}{3} \right) = \frac{94\pi}{3}\).
Hàm số mặt trong của bình gốm: \(y_1 = \frac{1}{175}x^2 + \frac{3}{35}x + 5\).
Thể tích không gian bên trong bình gốm là:
\(V_1 = \pi \int_{0}^{30} y_1^2 \, dx = \pi \int_{0}^{30} \left( \frac{1}{175}x^2 + \frac{3}{35}x + 5 \right)^2 dx\).
Vì bình gốm có độ dày không đổi là \(1\text{ cm}\), hàm số mặt ngoài của bình gốm sẽ là: \(y_2 = y_1 + 1 = \frac{1}{175}x^2 + \frac{3}{35}x + 6\).
Thể tích toàn bộ bình gốm (bao gồm cả phần ruột và phần đất sét) là:
\(V_2 = \pi \int_{0}^{30} y_2^2 \, dx = \pi \int_{0}^{30} \left( \frac{1}{175}x^2 + \frac{3}{35}x + 6 \right)^2 dx\).
Lượng đất sét cần sử dụng chính là thể tích phần vỏ bình gốm:
\(V_{đất\,sét} = V_2 - V_1 = \pi \int_{0}^{30} (y_2^2 - y_1^2) \, dx = \pi \int_{0}^{30} (y_2 - y_1)(y_2 + y_1) \, dx\)
Mà \(y_2 - y_1 = 1\) và \(y_2 + y_1 = \frac{2}{175}x^2 + \frac{6}{35}x + 11\).
Do đó:
\(V_{đất\,sét} = \pi \int_{0}^{30} \left( \frac{2}{175}x^2 + \frac{6}{35}x + 11 \right) dx = \pi \left. \left( \frac{2}{525}x^3 + \frac{3}{35}x^2 + 11x \right) \right|_{0}^{30}\)
\(= \pi \left( \frac{2}{525} \cdot 27000 + \frac{3}{35} \cdot 900 + 11 \cdot 30 \right) = \pi \left( \frac{720}{7} + \frac{540}{7} + 330 \right) = \pi \left( \frac{1260}{7} + 330 \right) = \pi (180 + 330) = 510\pi \approx 1602,21 \text{ (cm}^3\text{)}\).
Vậy cần sử dụng khoảng \(510\pi\text{ cm}^3\) (hay xấp xỉ \(1602,21\text{ cm}^3\)) đất sét để hoàn thành bình gốm.