BÀI 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2$ và $y=4$.
Lời giải: Giao điểm: $x=\pm2$. \[ S=\int_{-2}^{2} (4-x^2)\,dx = \left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2}=\frac{32}{3}. \]
Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y=\sin x$ và trục hoành trên đoạn $[0,\pi]$.
Lời giải: \[ S=\int_0^{\pi}\sin x\,dx =2. \]
Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $y=e^{-x}$ và trục hoành trên đoạn $[0,2]$.
Lời giải: \[ S=\int_0^{2} e^{-x}\,dx = 1-e^{-2}. \]
Khu đất giới hạn bởi $y=\dfrac{x^2}{8}$ và $y=4$, với $x\in[-4,4]$. Tính diện tích (m²).
Lời giải: \[ S=\int_{-4}^{4} \left(4-\frac{x^2}{8}\right)dx = \frac{256}{3}\,m^2. \]
Tính diện tích tấm biển giới hạn bởi $y=2+\cos x$ và trục hoành trên $[0,\pi]$.
Lời giải: \[ S=\int_0^{\pi} (2+\cos x)dx = 2\pi. \]
Mặt cắt ngang: $y=x^2$, với $x\in[-2,2]$. Chiều dài thùng 5 m. Tính thể tích (m³).
Lời giải: Diện tích mặt cắt: \(A=\int_{-2}^{2} x^2 dx=\tfrac{16}{3}\). Thể tích: \(V=5A=\tfrac{80}{3}\,m^3.\)
Bán kính: $r(x)=0.1+0.02x$, $x\in[0,5]$ (m). Tính thể tích ống (m³).
Lời giải: \[ V=\pi\int_0^5 (0.1+0.02x)^2 dx \approx 0.366\,m^3. \]
Quay vùng giới hạn bởi $y=x^2$, trục hoành, $x\in[0,2]$ quanh trục hoành. Tính thể tích.
Lời giải: \[ V=\pi\int_0^2 (x^2)^2 dx = \frac{32\pi}{5}. \]
Đường tạo: $y=0.05x^2$ (cm) với $x\in[0,6]$. Quay quanh trục tung. Tính thể tích (cm³).
Lời giải: Chuyển: $y=0.05x^2\Rightarrow x=\sqrt{20y}$, quay quanh trục tung: \(V=\pi\int_0^{1.8} (\sqrt{20y})^2 dy = 32.4\pi\,cm^3.\)
Bình nón cụt: đường kính lớn 1 m, đường kính nhỏ 0.6 m, chiều cao 1.2 m. Tính thể tích (m³).
Lời giải: Công thức: \(V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)\) với $R=0.5$, $r=0.3$, $h=1.2$ → \(V=0.196\pi\,m^3.\)
