BÀI 2. TÍCH PHÂN
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Tính \( \displaystyle\int_{0}^{1} (3x^2 - x + 2)\,dx \).
\[
\int_0^1 (3x^2 - x + 2)\,dx = \Big[x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + 2x\Big]_0^1 = 1 - \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2}.
\]
Câu 2. Tính \( \displaystyle\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx \).
\[
\int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos0 = -(-1) + 1 = 2.
\]
Câu 3. Tính \( \displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(2x)\,dx \).
\[
\int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos(2x)\,dx = \Big[\tfrac{1}{2}\sin(2x)\Big]_{\pi/6}^{\pi/3}
= \tfrac{1}{2}\big(\sin(\tfrac{2\pi}{3}) - \sin(\tfrac{\pi}{3})\big)
= \tfrac{1}{2}\big(\tfrac{\sqrt3}{2} - \tfrac{\sqrt3}{2}\big) = 0.
\]
Câu 4. Tính \( \displaystyle\int_{0}^{1} e^{3x}\,dx \).
\[
\int_0^1 e^{3x}\,dx = \Big[\tfrac{1}{3}e^{3x}\Big]_0^1 = \tfrac{1}{3}(e^{3}-1).
\]
Câu 5. Tính \( \displaystyle\int_{1}^{3} 5e^{-x}\,dx \).
\[
\int_1^3 5e^{-x}\,dx = 5[-e^{-x}]_1^3 = 5(e^{-1}-e^{-3}).
\]
Câu 6. Tính \( \displaystyle\int_{2}^{10} \frac{1}{x}\,dx \).
\[
\int_2^{10} \frac{1}{x}\,dx = [\ln|x|]_2^{10} = \ln 10 - \ln 2.
\]
(Lưu ý: \(\ln10-\ln2=\ln5\).)
Câu 7. Tính \( \displaystyle\int_{0}^{3} (x+1)(x-2)\,dx \).
\[
(x+1)(x-2)=x^2 - x -2,\quad
\int_0^3 (x^2-x-2)dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^2}{2}-2x\Big]_0^3 = -\tfrac{3}{2}.
\]
Câu 8. Tính \( \displaystyle\int_{1}^{5} \frac{x^2+1}{x}\,dx \).
\[
\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x},\quad
\int_1^5 \left(x+\frac{1}{x}\right)dx = \Big[\tfrac{x^2}{2}+\ln|x|\Big]_1^5 = 12 + \ln 5.
\]
Câu 9. Vật có vận tốc \( v(t)=4t^2 - t \) (m/s). Tính quãng đường từ \(t=0\) đến \(t=3\): \( \displaystyle\int_{0}^{3} (4t^2 - t)\,dt \).
\[
\int_0^3 (4t^2-t)dt = \Big[\tfrac{4}{3}t^3 - \tfrac{1}{2}t^2\Big]_0^3 = \tfrac{63}{2}\ \text{(m)}.
\]
Câu 10. Gia tốc \( a(t)=6t \) (m/s²), biết \( v(0)=2 \). Tính quãng đường từ \(t=0\) đến \(t=2\).
Tích hợp: \(v(t)=\int a(t)dt + v(0) = 3t^2 + 2\).
Quãng đường: \(\int_0^2 v(t)dt = \int_0^2 (3t^2+2)dt = [t^3+2t]_0^2 = 8+4 = 12\) (m).
