Mind Map

BÀI 2. TÍCH PHÂN

CREATIVE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

ORIGINAL IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

SIMPLE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

CLEVER IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

UNIQUE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

FRESH IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

Ví dụ – Tích phân và ứng dụng

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx$.

Lời giải:

$$ \int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx = [x^3 - 2x^2 + x]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2. $$

Ví dụ 2Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_0^{\pi} (\sin x + 2\cos x)\,dx$.

Lời giải:

$$ \int (\sin x + 2\cos x)dx = -\cos x + 2\sin x + C. $$ Suy ra $$ \int_0^{\pi} (\sin x + 2\cos x)dx = [-\cos x + 2\sin x]_0^{\pi} = [1 + 0] - [-1 + 0] = 2. $$

Ví dụ 3Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_0^1 e^{2x}\,dx$.

Lời giải:

$$ \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \Rightarrow \int_0^1 e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}(e^{2}-1). $$

Ví dụ 4Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_1^3 2^x\,dx$.

Lời giải:

$$ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \Rightarrow \int_1^3 2^x\,dx = \frac{2^3 - 2^1}{\ln 2} = \frac{6}{\ln 2}. $$

Ví dụ 5Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_0^4 \sqrt{x}\,dx$.

Lời giải:

$$ \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C. $$ Nên $$ \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3}\times8 = \frac{16}{3}. $$

Ví dụ 6Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_0^1 (x+1)(2x-3)\,dx$.

Lời giải:

Triển khai: $(x+1)(2x-3)=2x^2 - x -3$.

$$ \int_0^1 (2x^2 - x -3)dx = [\tfrac{2x^3}{3} - \tfrac{x^2}{2} - 3x]_0^1 = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{2} - 3 = -\tfrac{17}{6}. $$

Ví dụ 7Đề bài

Tính tích phân $\displaystyle \int_1^2 \frac{x^3}{x}\,dx$.

Lời giải:

$$ f(x)=x^2 \Rightarrow \int_1^2 x^2dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}. $$

Ví dụ 8Đề bài

Một vật chuyển động có vận tốc $v(t)=3t^2+2$ (m/s). Tính quãng đường vật đi trong khoảng $t\in[0;2]$.

Lời giải:

$$ s=\int_0^2 v(t)dt=\int_0^2 (3t^2+2)dt=[t^3+2t]_0^2=8+4=12\text{ m.} $$

Ví dụ 9Đề bài

Dòng điện có cường độ $i(t)=5e^{-t}$ (A). Tính điện lượng $Q$ trong khoảng $[0;2]$ (s).

Lời giải:

$$ Q=\int_0^2 5e^{-t}dt=\left[-5e^{-t}\right]_0^2=5(1-e^{-2})\,\text{C}. $$

Ví dụ 10Đề bài

Áp suất tác dụng lên thành bình thay đổi theo độ sâu $h$ theo công thức $p(h)=1000h$ (Pa). Tính lực tác dụng lên mặt đáy bình có diện tích $S=2\,\text{m}^2$ khi độ sâu nước là $3$ m.

Lời giải:

$$ F=\int_0^3 p(h)\,S\,dh=2\int_0^3 1000h\,dh=2000\left[\frac{h^2}{2}\right]_0^3=2000\times4.5=9000\,\text{N}. $$