GIẢI BÀI TẬP BÀI 12: TÍCH PHÂN
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
a) \(\int_{1}^{2} (2x + 1) \, dx\);
b) \(\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx\).
a) Hàm số \(y = 2x + 1 > 0\) với mọi \(x \in [1; 2]\).
Tích phân \(\int_{1}^{2} (2x + 1) \, dx\) là diện tích của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng \(y = 2x + 1\), trục hoành \(y = 0\), \(x = 1\) và \(x = 2\).
Hình thang này có hai đáy song song với trục \(Oy\) có độ dài tương ứng là \(y(1) = 2(1) + 1 = 3\) và \(y(2) = 2(2) + 1 = 5\), chiều cao \(h = 2 - 1 = 1\).
Do đó, diện tích hình thang là:
\(S = \frac{(3 + 5) \cdot 1}{2} = 4\).
Vậy \(\int_{1}^{2} (2x + 1) \, dx = 4\).
b) Hàm số \(y = \sqrt{9 - x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in [-3; 3]\).
Tích phân \(\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx\) bằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt{9 - x^2}\) và trục hoành trên đoạn \([-3; 3]\).
Nhận xét: \(y = \sqrt{9 - x^2} \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 9\) (với \(y \ge 0\)). Đây chính là nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm \(O(0; 0)\) bán kính \(R = 3\).
Diện tích của nửa hình tròn này là:
\(S = \frac{1}{2} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{9\pi}{2}\).
Vậy \(\int_{-3}^{3} \sqrt{9 - x^2} \, dx = \frac{9\pi}{2}\).
a) \(\int_{0}^{3} [f(x) + g(x)] \, dx\);
b) \(\int_{0}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx\);
c) \(\int_{0}^{3} 3f(x) \, dx\);
d) \(\int_{0}^{3} [2f(x) - 3g(x)] \, dx\).
a) \(\int_{0}^{3} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} g(x) \, dx = 5 + 2 = 7\).
b) \(\int_{0}^{3} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx - \int_{0}^{3} g(x) \, dx = 5 - 2 = 3\).
c) \(\int_{0}^{3} 3f(x) \, dx = 3 \int_{0}^{3} f(x) \, dx = 3 \cdot 5 = 15\).
d) \(\int_{0}^{3} [2f(x) - 3g(x)] \, dx = 2 \int_{0}^{3} f(x) \, dx - 3 \int_{0}^{3} g(x) \, dx = 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 = 10 - 6 = 4\).
a) \(\int_{0}^{3} (3x - 1)^2 \, dx\);
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin x) \, dx\);
c) \(\int_{0}^{1} (e^{2x} + 3x^2) \, dx\);
d) \(\int_{-1}^{2} |2x + 1| \, dx\).
a) Khai triển HĐT: \((3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1\).
\(\int_{0}^{3} (3x - 1)^2 \, dx = \left. \left( 3x^3 - 3x^2 + x \right) \right|_{0}^{3}\)
\(= (3 \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 3) - 0 = (81 - 27 + 3) = 57\).
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \sin x) \, dx = \left. \left( x - \cos x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(= \left( \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} \right) - (0 - \cos 0) = \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) - (0 - 1) = \frac{\pi}{2} + 1\).
c) \(\int_{0}^{1} (e^{2x} + 3x^2) \, dx = \left. \left( \frac{1}{2} e^{2x} + x^3 \right) \right|_{0}^{1}\)
\(= \left( \frac{1}{2} e^2 + 1 \right) - \left( \frac{1}{2} e^0 + 0 \right) = \frac{1}{2} e^2 + 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^2 + \frac{1}{2} = \frac{e^2 + 1}{2}\).
d) Ta xét dấu của \(2x + 1\):
\(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}\).
- Với \(x \in \left[-1; -\frac{1}{2}\right]\) thì \(2x + 1 \le 0 \Rightarrow |2x + 1| = -(2x + 1)\).
- Với \(x \in \left[-\frac{1}{2}; 2\right]\) thì \(2x + 1 \ge 0 \Rightarrow |2x + 1| = 2x + 1\).
Tách tích phân thành hai phần:
\(\int_{-1}^{2} |2x + 1| \, dx = \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} -(2x + 1) \, dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{2} (2x + 1) \, dx\)
\(= -\left. (x^2 + x) \right|_{-1}^{-\frac{1}{2}} + \left. (x^2 + x) \right|_{-\frac{1}{2}}^{2}\)
\(= -\left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) - (1 - 1) \right] + \left[ (4 + 2) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) \right]\)
\(= -\left( -\frac{1}{4} \right) + \left[ 6 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right] = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6,5\).
a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\), tức là tính \(\int_{1}^{4} v(t) \, dt\).
b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính \(\int_{1}^{4} |v(t)| \, dt\).
a) Tính độ dịch chuyển của vật:
\(\int_{1}^{4} v(t) \, dt = \int_{1}^{4} (t^2 - t - 6) \, dt = \left. \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t \right) \right|_{1}^{4}\)
\(= \left( \frac{64}{3} - 8 - 24 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right)\)
\(= \left( \frac{64}{3} - 32 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{13}{2} \right) = -\frac{32}{3} - \left( -\frac{37}{6} \right) = -\frac{64}{6} + \frac{37}{6} = -\frac{27}{6} = -4,5 \text{ (m)}\).
b) Tính tổng quãng đường vật đi được:
Xét dấu của \(v(t) = t^2 - t - 6 = (t - 3)(t + 2)\):
- Trên đoạn \([1; 3]\): \(v(t) \le 0 \Rightarrow |v(t)| = -(t^2 - t - 6)\).
- Trên đoạn \([3; 4]\): \(v(t) \ge 0 \Rightarrow |v(t)| = t^2 - t - 6\).
Do đó:
\(\int_{1}^{4} |v(t)| \, dt = \int_{1}^{3} -(t^2 - t - 6) \, dt + \int_{3}^{4} (t^2 - t - 6) \, dt\)
\(= -\left. \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t \right) \right|_{1}^{3} + \left. \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} - 6t \right) \right|_{3}^{4}\)
\(= -\left[ \left( 9 - \frac{9}{2} - 18 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 6 \right) \right] + \left[ \left( \frac{64}{3} - 8 - 24 \right) - \left( 9 - \frac{9}{2} - 18 \right) \right]\)
\(= -\left[ -\frac{27}{2} - \left( -\frac{37}{6} \right) \right] + \left[ -\frac{32}{3} - \left( -\frac{27}{2} \right) \right]\)
\(= -\left( -\frac{22}{3} \right) + \left( \frac{17}{6} \right) = \frac{22}{3} + \frac{17}{6} = \frac{61}{6} \approx 10,17 \text{ (m)}\).
\(P'(x) = -0,0005x + 12,2\)
Ở đây \(P(x)\) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được \(x\) đơn vị sản phẩm.a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm.
b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm.
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(a\) đến \(b\) đơn vị sản phẩm được tính bằng tích phân:
\(\Delta P = \int_{a}^{b} P'(x) \, dx = \int_{a}^{b} (-0,0005x + 12,2) \, dx\).
a) Khi doanh số tăng từ 100 lên 101 đơn vị sản phẩm:
\(\Delta P = \int_{100}^{101} (-0,0005x + 12,2) \, dx = \left. \left( -0,00025x^2 + 12,2x \right) \right|_{100}^{101}\)
\(= \left( -0,00025 \cdot 101^2 + 12,2 \cdot 101 \right) - \left( -0,00025 \cdot 100^2 + 12,2 \cdot 100 \right)\)
\(= (-2,55025 + 1232,2) - (-2,5 + 1220) = 1229,64975 - 1217,5 = 12,14975 \text{ (triệu đồng)}\).
b) Khi doanh số tăng từ 100 lên 110 đơn vị sản phẩm:
\(\Delta P = \int_{100}^{110} (-0,0005x + 12,2) \, dx = \left. \left( -0,00025x^2 + 12,2x \right) \right|_{100}^{110}\)
\(= \left( -0,00025 \cdot 110^2 + 12,2 \cdot 110 \right) - 1217,5\)
\(= (-3,025 + 1342) - 1217,5 = 1338,975 - 1217,5 = 121,475 \text{ (triệu đồng)}\).
\(v = k(R^2 - r^2)\)
trong đó \(k\) là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với \(r\)) của động mạch trong khoảng \(0 \le r \le R\). So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.1. Tính vận tốc trung bình của dòng máu:
Công thức giá trị trung bình của hàm số \(v(r)\) trên đoạn \([0; R]\) là:
\(v_{tb} = \frac{1}{R - 0} \int_{0}^{R} v(r) \, dr = \frac{1}{R} \int_{0}^{R} k(R^2 - r^2) \, dr\)
\(= \frac{k}{R} \left. \left( R^2 r - \frac{r^3}{3} \right) \right|_{0}^{R} = \frac{k}{R} \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) = \frac{k}{R} \cdot \frac{2R^3}{3} = \frac{2}{3} k R^2\).
2. Tìm vận tốc lớn nhất:
Vì \(r \ge 0 \Rightarrow r^2 \ge 0 \Rightarrow R^2 - r^2 \le R^2\).
Do đó \(v(r) = k(R^2 - r^2) \le k R^2\).
Vận tốc lớn nhất đạt được tại tâm động mạch (\(r = 0\)):
\(v_{\max} = k R^2\).
3. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất:
Ta có: \(v_{tb} = \frac{2}{3} k R^2 = \frac{2}{3} v_{\max}\).
Vậy vận tốc trung bình của dòng máu bằng \(\frac{2}{3}\) vận tốc lớn nhất của nó.