Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng với mọi hàm số \(f(x)\) có nguyên hàm trên tập \(K\)?
Giải thích: Theo định nghĩa và tính chất của nguyên hàm, nguyên hàm của đạo hàm một hàm số là chính hàm số đó cộng với hằng số: \(\int f'(x) \, dx = f(x) + C\).
Câu 2. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3x^2 - 2x + 1\) trên \(\mathbb{R}\) là:
Giải thích: Ta có \(\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 - x^2 + x + C\).
Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).
Giải thích: Theo bảng nguyên hàm cơ bản, ta có \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\).
Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = e^x - \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; +\infty)\).
Giải thích: Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản: \(\int \left(e^x - \frac{1}{x}\right) dx = e^x - \ln\vert{}x\vert{} + C\). Trên khoảng \((0; +\infty)\), ta được \(e^x - \ln x + C\).
Câu 5. Cho hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3x^2 - 1\) thỏa mãn \(F(0) = 2\). Giá trị của \(F(1)\) là:
Giải thích: Ta có \(F(x) = \int (3x^2 - 1) dx = x^3 - x + C\).
Vì \(F(0) = 2 \Rightarrow 0^3 - 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2\).
Do đó \(F(x) = x^3 - x + 2\). Suy ra \(F(1) = 1^3 - 1 + 2 = 2\).
Câu 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}\) trên khoảng \((0; \pi)\).
Giải thích: Theo bảng nguyên hàm cơ bản: \(\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C\).
Câu 7 Thực tế. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức \(v(t) = 3t^2 + 2\) (m/s). Biết rằng tại thời điểm ban đầu \(t = 0\), vật đang ở vị trí có độ dời \(s(0) = 5\) mét. Công thức quãng đường / vị trí \(s(t)\) của vật theo thời gian \(t\) là:
Giải thích: Vị trí \(s(t)\) của vật là một nguyên hàm của vận tốc \(v(t)\):
\(s(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 + 2) dt = t^3 + 2t + C\).
Theo giả thiết \(s(0) = 5 \Rightarrow 0^3 + 2(0) + C = 5 \Rightarrow C = 5\).
Vậy \(s(t) = t^3 + 2t + 5\).
Câu 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5^x\).
Giải thích: Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ cơ bản: \(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\), ta có \(\int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C\).
Câu 9. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4x^3 + \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; +\infty)\).
Giải thích: Ta có \(\int \left(4x^3 + \frac{1}{x}\right) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + \ln\vert{}x\vert{} + C = x^4 + \ln x + C\) (trên \((0; +\infty)\)).
Câu 10. Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x - 2\cos x\).
Giải thích: Áp dụng tính chất tuyến tính và bảng nguyên hàm cơ bản:
\(\int (\sin x - 2\cos x) dx = \int \sin x \, dx - 2 \int \cos x \, dx = -\cos x - 2\sin x + C\).