📐 BÀI HỌC TOÁN 12: NGUYÊN HÀM
Sách giáo khoa Toán 12 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương IV)
1. Khái niệm Nguyên hàm
Phép tính nguyên hàm là phép toán ngược của phép tính đạo hàm.
Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(K\). Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu:
\[ F'(x) = f(x) \quad \text{với mọi } x \in K \]Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \(K\) thì:
- Mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + C\), với \(C\) là một hằng số.
- Ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của \(f(x)\) là: \[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
2. Các tính chất cơ bản của Nguyên hàm
- Đạo hàm của nguyên hàm: \[ \left( \int f(x) \, dx \right)' = f(x) \]
- Nguyên hàm của đạo hàm: \[ \int F'(x) \, dx = F(x) + C \]
- Nhân với hằng số khác 0: Với số thực \(k \ne 0\): \[ \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx \]
- Nguyên hàm của một tổng, hiệu: \[ \int \left[ f(x) \pm g(x) \right] dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \]
3. Bảng Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
| STT | Hàm số sơ cấp \(f(x)\) | Họ nguyên hàm \(\int f(x) dx = F(x) + C\) |
|---|---|---|
| 1 | \(0\) | \(C\) |
| 2 | \(1\) (hay \(dx\)) | \(x + C\) |
| 3 | \(x^\alpha \quad (\alpha \ne -1)\) | \(\displaystyle\frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C\) |
| 4 | \(\displaystyle\frac{1}{x} \quad (x \ne 0)\) | \(\ln|x| + C\) |
| 5 | \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| 6 | \(a^x \quad (0 < a \ne 1)\) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) |
| 7 | \(\cos x\) | \(\sin x + C\) |
| 8 | \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) |
| 9 | \(\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x\) | \(\tan x + C\) |
| 10 | \(\displaystyle\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x\) | \(-\cot x + C\) |
4. Ví dụ minh họa chi tiết (SGK Kết nối tri thức)
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(\int \left( 3x^2 + \displaystyle\frac{2}{x} - e^x \right) dx\)
b) \(\int \left( 2\sin x + \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} \right) dx\)
a) Áp dụng tính chất nguyên hàm của tổng, hiệu và bảng nguyên hàm cơ bản:
\[ \int \left( 3x^2 + \displaystyle\frac{2}{x} - e^x \right) dx = 3 \int x^2 dx + 2 \int \displaystyle\frac{1}{x} dx - \int e^x dx \] \[ = 3 \cdot \displaystyle\frac{x^3}{3} + 2 \ln|x| - e^x + C = x^3 + 2\ln|x| - e^x + C \]b) Ta có:
\[ \int \left( 2\sin x + \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} \right) dx = 2 \int \sin x \, dx + \int \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} \, dx \] \[ = -2\cos x + \tan x + C \]Một vật di chuyển với vận tốc \(v(t) = 3t^2 + 2t\) (m/s). Biết rằng tại thời điểm \(t = 0\) (s), vật ở vị trí có tọa độ \(s(0) = 5\) (m). Tìm công thức quãng đường/vị trí \(s(t)\) của vật theo thời gian \(t\).
Vì vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: \(s'(t) = v(t)\), nên \(s(t)\) là một nguyên hàm của \(v(t)\):
\[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (3t^2 + 2t) \, dt = t^3 + t^2 + C \]Theo giả thiết, tại \(t = 0\) thì \(s(0) = 5\):
\[ s(0) = 0^3 + 0^2 + C = 5 \Rightarrow C = 5 \]Vậy công thức vị trí của vật là: \(s(t) = t^3 + t^2 + 5\) (m).
5. Bảng tổng kết & Bài tập tự luyện
| Khái niệm / Công thức | Nội dung ghi nhớ |
|---|---|
| Định nghĩa | \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow \int f(x)dx = F(x) + C\) |
| Đặc điểm hằng số \(C\) | Mọi nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ khác nhau một hằng số \(C\) |
| Hàm lũy thừa \(x^\alpha\) | \(\int x^\alpha dx = \displaystyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \ne -1)\) |
| Hàm lượng giác cơ bản | \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\); \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\) |
Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(\int \left( 4x^3 - 3x^2 + \displaystyle\frac{1}{x^2} \right) dx\)
b) \(\int \left( e^x - 3\sin x + \displaystyle\frac{2}{\cos^2 x} \right) dx\)
Bài 2: Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = 3 - 5\cos x\) và \(f(0) = 2\). Tìm hàm số \(f(x)\).
Bài 3: Một vật chuyển động thẳng với vận tốc \(v(t) = 3t^2 - 2t\) (m/s). Tính quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 1\) (s) đến thời điểm \(t = 3\) (s).