GIẢI BÀI TẬP BÀI 11: NGUYÊN HÀM
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)
a) \(F(x) = x \ln x\) và \(f(x) = 1 + \ln x\) trên khoảng \((0; +\infty)\);
b) \(F(x) = e^{\sin x}\) và \(f(x) = e^{\cos x}\) trên \(\mathbb{R}\).
a) Trên khoảng \((0; +\infty)\), ta có:
\(F'(x) = (x \ln x)' = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 = 1 + \ln x = f(x)\).
Vì \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in (0; +\infty)\) nên \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; +\infty)\).
b) Trên \(\mathbb{R}\), ta có:
\(F'(x) = (e^{\sin x})' = (\sin x)' \cdot e^{\sin x} = \cos x \cdot e^{\sin x}\).
Trong khi đó \(f(x) = e^{\cos x}\). Dễ thấy \(F'(x) \neq f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (chẳng hạn tại \(x = 0\) thì \(F'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\), còn \(f(0) = e^1 = e \neq 1\)).
Vậy \(F(x)\) không là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\).
a) \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\);
b) \(f(x) = x^3 - x\);
c) \(f(x) = (2x + 1)^2\);
d) \(f(x) = \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2\).
a) \(\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C\).
b) \(\int (x^3 - x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} + C\).
c) Ta có \(f(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\).
Do đó: \(\int (2x + 1)^2 \, dx = \int (4x^2 + 4x + 1) \, dx = \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + x + C\).
d) Ta có \(f(x) = \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2 = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}\).
Do đó: \(\int \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2 \, dx = \int \left(4x^2 - 4 + x^{-2}\right) \, dx = \frac{4}{3}x^3 - 4x - \frac{1}{x} + C\).
a) \(\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right) dx\);
b) \(\int \sqrt{x} (7x^2 - 3) \, dx \quad (x > 0)\);
c) \(\int \frac{(2x + 1)^2}{x^2} \, dx\);
d) \(\int \left( 2^x + \frac{3}{x^2} \right) dx\).
a) \(\int \left( 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right) dx = \int \left( 3x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{3}} \right) dx\)
\(= 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = 2x\sqrt{x} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C\).
b) Với \(x > 0\):
\(\int \sqrt{x}(7x^2 - 3) \, dx = \int \left( 7x^{\frac{5}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}} \right) dx = 7 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2x^3\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C\).
c) \(\int \frac{(2x + 1)^2}{x^2} \, dx = \int \frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2} \, dx = \int \left( 4 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx\)
\(= 4x + 4\ln|x| - \frac{1}{x} + C\).
d) \(\int \left( 2^x + \frac{3}{x^2} \right) dx = \int (2^x + 3x^{-2}) \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} - \frac{3}{x} + C\).
a) \(\int \left( 2\cos x - \frac{3}{\sin^2 x} \right) dx\);
b) \(\int 4\sin^2 \frac{x}{2} \, dx\);
c) \(\int \left( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} \right)^2 dx\);
d) \(\int (x + \tan^2 x) \, dx\).
a) \(\int \left( 2\cos x - \frac{3}{\sin^2 x} \right) dx = 2\sin x + 3\cot x + C\).
b) Sử dụng công thức hạ bậc: \(\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}\).
\(\int 4\sin^2 \frac{x}{2} \, dx = \int 4 \cdot \frac{1 - \cos x}{2} \, dx = \int (2 - 2\cos x) \, dx = 2x - 2\sin x + C\).
c) Ta có \(\left( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} \right)^2 = \sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \sin x\).
Do đó: \(\int \left( \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} \right)^2 dx = \int (1 - \sin x) \, dx = x + \cos x + C\).
d) Ta có \(\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1 = \frac{1}{\cos^2 x} - 1\).
Do đó: \(\int (x + \tan^2 x) \, dx = \int \left( x - 1 + \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx = \frac{x^2}{2} - x + \tan x + C\).
Vì \(f'(x) = 2x + \frac{1}{x^2}\) nên \(f(x)\) là một nguyên hàm của \(f'(x)\) trên \((0; +\infty)\):
\(f(x) = \int \left( 2x + \frac{1}{x^2} \right) dx = x^2 - \frac{1}{x} + C\).
Theo giả thiết \(f(1) = 1\), thay \(x = 1\) vào biểu thức trên:
\(1^2 - \frac{1}{1} + C = 1 \Leftrightarrow 0 + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).
Do đó, \(f(x) = x^2 - \frac{1}{x} + 1\).
Tính \(f(4)\):
\(f(4) = 4^2 - \frac{1}{4} + 1 = 16 - 0,25 + 1 = 16,75 = \frac{67}{4}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(x; f(x))\) chính là đạo hàm của hàm số tại \(x\):
\(f'(x) = k_M = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\).
Do đó, \(f(x)\) là một nguyên hàm của \(f'(x)\):
\(f(x) = \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C\).
Khi điểm \(M\) nằm trên trục tung (tức \(x = 0\)), theo đề bài \(M\) trùng với gốc tọa độ \(O(0; 0)\). Điều này có nghĩa là đồ thị đi qua điểm \(O(0; 0)\), hay \(f(0) = 0\).
Thay \(x = 0\) vào \(f(x)\):
\(f(0) = \frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 + C = 0 \Rightarrow C = 0\).
Vậy biểu thức của hàm số là: \(f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x\).
a) Sau \(t = 5\) giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Gọi \(h(t)\) là độ cao của viên đạn tại thời điểm \(t\) giây (tính từ mặt đất). Ta có \(h'(t) = v(t)\).
Do đó, \(h(t)\) là một nguyên hàm của hàm vận tốc \(v(t)\):
\(h(t) = \int v(t) \, dt = \int (160 - 9,8t) \, dt = 160t - 4,9t^2 + C\).
Vì viên đạn được bắn lên từ mặt đất tại thời điểm \(t = 0\) nên độ cao ban đầu \(h(0) = 0\):
\(h(0) = 160(0) - 4,9(0)^2 + C = 0 \Rightarrow C = 0\).
Vậy biểu thức độ cao của viên đạn theo thời gian là: \(h(t) = 160t - 4,9t^2 \text{ (m)}\).
a) Độ cao của viên đạn sau \(t = 5\) giây:
\(h(5) = 160(5) - 4,9(5)^2 = 800 - 4,9 \cdot 25 = 800 - 122,5 = 677,5 \text{ (m)}\).
b) Độ cao lớn nhất của viên đạn:
Viên đạn đạt độ cao lớn nhất khi vận tốc của nó bằng \(0\):
\(v(t) = 0 \Leftrightarrow 160 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{160}{9,8} = \frac{800}{49} \approx 16,33 \text{ (giây)}\).
Độ cao lớn nhất khi đó là:
\(h_{\max} = h\left(\frac{800}{49}\right) = 160 \cdot \frac{800}{49} - 4,9 \cdot \left(\frac{800}{49}\right)^2 = \frac{128000}{49} - \frac{320000}{49} = \frac{640000}{49} \approx 1306,122 \approx 1306,1 \text{ (m)}\).