Mind Map

BÀI 1. NGUYÊN HÀM

CREATIVE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

ORIGINAL IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

SIMPLE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

CLEVER IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

UNIQUE IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

FRESH IDEA

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit.

Ví dụ – Nguyên hàm và ứng dụng

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1Đề bài

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7$.

Lời giải:

$$ \int (3x^3 - 2x^2 + 5x - 7)\,dx = \frac{3x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 7x + C. $$

Ví dụ 2Đề bài

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4\sin x - 3\cos x$.

Lời giải:

$$ \int (4\sin x - 3\cos x)\,dx = -4\cos x - 3\sin x + C. $$

Ví dụ 3Đề bài

Tính nguyên hàm của $f(x) = 5e^{2x}$.

Lời giải:

$$ \int 5e^{2x}\,dx = \frac{5}{2}e^{2x} + C. $$

Ví dụ 4Đề bài

Tính nguyên hàm của $f(x) = 2^x$.

Lời giải:

$$ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C. $$

Ví dụ 5Đề bài

Tính nguyên hàm của $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Lời giải:

$$ \int (x^{1/2} + x^{-1/2})\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C. $$

Ví dụ 6Đề bài

Tìm nguyên hàm của $f(x) = (2x+1)(x-3)$.

Lời giải:

Triển khai: $(2x+1)(x-3) = 2x^2 -5x -3$.

$$ \int (2x^2 -5x -3)\,dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 3x + C. $$

Ví dụ 7Đề bài

Tính nguyên hàm của $f(x) = \dfrac{x^3}{x}$ với $x \ne 0$.

Lời giải:

$$ f(x) = x^2 \Rightarrow \int f(x)\,dx = \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C. $$

Ví dụ 8Đề bài

Một vật chuyển động có vận tốc $v(t) = 4t + 2$ (m/s). Tính quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu kể từ $t=0$.

Lời giải:

Quãng đường: $$ s = \int_0^5 v(t)\,dt = \int_0^5 (4t+2)\,dt = [2t^2 + 2t]_0^5 = 2(25) + 10 = 60\text{ m.} $$

Ví dụ 9Đề bài

Một dòng điện có cường độ $i(t) = 3e^{-2t}$ (A). Tính điện lượng $Q$ qua tiết diện trong khoảng $[0;1]$ (s).

Lời giải:

$$ Q = \int_0^1 i(t)\,dt = \int_0^1 3e^{-2t}\,dt = \left[-\frac{3}{2}e^{-2t}\right]_0^1 = \frac{3}{2}(1 - e^{-2})\,\text{C}. $$

Ví dụ 10Đề bài

Một vật rơi tự do có gia tốc $a(t)=9{,}8$ (m/s²). Biết vận tốc ban đầu $v(0)=0$. Tính vận tốc tại thời điểm $t=3$ (s).

Lời giải:

$$ v(t) = \int a(t)\,dt = \int 9{,}8\,dt = 9{,}8t + C. $$ Vì $v(0)=0 \Rightarrow C=0$. Do đó $v(3)=9{,}8\times3=29{,}4\text{ m/s.}$