BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III - TOÁN 12 (KNTT)

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III - TOÁN 12

CHỦ ĐỀ: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ ĐO TÁN SẮC CỦA MẪU SỐ LIỆU GHẾP NHÓM (KNTT)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)

Câu 1 (Nhận biết - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Cho mẫu số liệu ghép nhóm có nhóm đầu tiên là \([a_1; a_2)\) và nhóm cuối cùng là \([a_k; a_{k+1})\). Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức:

A. \(R = a_{k+1} - a_1\) B. \(R = a_k - a_1\) C. \(R = a_{k+1} - a_2\) D. \(R = a_k - a_2\)

Lời giải chi tiết:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút trên của nhóm cuối cùng và đầu mút dưới của nhóm đầu tiên: \(R = a_{k+1} - a_1\).
Đáp án đúng: A

Câu 2 (Nhận biết - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Công thức tính khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. \(\Delta_Q = Q_1 - Q_3\) B. \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) C. \(\Delta_Q = Q_3 + Q_1\) D. \(\Delta_Q = \frac{Q_3 - Q_1}{2}\)

Lời giải chi tiết:
Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) bằng hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) và tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\).
Đáp án đúng: B

Câu 3 (Nhận biết - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

A. Đo độ tập trung của mẫu số liệu quanh giá trị trung bình B. Xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu C. Đo mức độ phân tán của mẫu số liệu D. Tìm giá trị trung vị của mẫu số liệu

Lời giải chi tiết:
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là các số đặc trưng dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm.
Đáp án đúng: C

Câu 4 (Thông hiểu - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Cho mẫu số liệu ghép nhóm thời gian tự học (giờ/tuần) của học sinh:

Thời gian (giờ)	[0; 5)	[5; 10)	[10; 15)	[15; 20)
Số học sinh	4	12	18	6

Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. \(R = 15\) B. \(R = 18\) C. \(R = 14\) D. \(R = 20\)

Lời giải chi tiết:
Nhóm đầu tiên là \([0; 5)\) có đầu mút dưới \(a_1 = 0\).
Nhóm cuối cùng là \([15; 20)\) có đầu mút trên \(a_5 = 20\).
Khoảng biến thiên \(R = 20 - 0 = 20\).
Đáp án đúng: D

Câu 5 (Thông hiểu - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Cho mẫu số liệu ghép nhóm có \(Q_1 = 12.5\) và \(Q_3 = 24.8\). Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu đó là:

A. \(\Delta_Q = 37.3\) B. \(\Delta_Q = 12.3\) C. \(\Delta_Q = 6.15\) D. \(\Delta_Q = 18.65\)

Lời giải chi tiết:
\(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 24.8 - 12.5 = 12.3\).
Đáp án đúng: B

Câu 6 (Thông hiểu - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Một mẫu số liệu thu được khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = 8.5\). Điều này cho biết điều gì về 50% số liệu chính giữa của mẫu?

A. 50% số liệu chính giữa có độ phân tán không quá 8.5 B. Tất cả các số liệu đều nằm trong khoảng có độ rộng 8.5 C. Giá trị trung bình của mẫu bằng 8.5 D. Số lớn nhất trừ số nhỏ nhất bằng 8.5

Lời giải chi tiết:
Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) đo độ trải giữa của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu.
Đáp án đúng: A

Câu 7 (Nhận biết - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Mối liên hệ giữa độ lệch chuẩn \(s\) và phương sai \(s^2\) của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. \(s = s^2\) B. \(s = (s^2)^2\) C. \(s = \sqrt{s^2}\) D. \(s^2 = \sqrt{s}\)

Lời giải chi tiết:
Độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai đại số của phương sai \(s^2\): \(s = \sqrt{s^2}\).
Đáp án đúng: C

Câu 8 (Nhận biết - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Để đại diện cho từng nhóm số liệu \([a_i; a_{i+1})\) khi tính phương sai và độ lệch chuẩn, người ta dùng giá trị đại diện \(x_i\) bằng:

A. \(x_i = a_{i+1} - a_i\) B. \(x_i = a_i\) C. \(x_i = a_{i+1}\) D. \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\)

Lời giải chi tiết:
Giá trị đại diện của nhóm \([a_i; a_{i+1})\) là trung điểm của nhóm: \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\).
Đáp án đúng: D

Câu 9 (Nhận biết - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm \(A\) và \(B\) có cùng giá trị trung bình. Nếu mẫu \(A\) có độ lệch chuẩn nhỏ hơn mẫu \(B\) thì:

A. Các số liệu trong mẫu \(A\) đồng đều hơn các số liệu trong mẫu \(B\) B. Các số liệu trong mẫu \(B\) đồng đều hơn các số liệu trong mẫu \(A\) C. Mẫu \(A\) có số lượng số liệu lớn hơn mẫu \(B\) D. Mẫu \(B\) có khoảng biến thiên nhỏ hơn mẫu \(A\)

Lời giải chi tiết:
Độ lệch chuẩn càng nhỏ chứng tỏ các số liệu càng ít phân tán quanh giá trị trung bình, tức là mẫu số liệu càng đồng đều.
Đáp án đúng: A

Câu 10 (Thông hiểu - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Một mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai \(s^2 = 16\). Độ lệch chuẩn \(s\) của mẫu số liệu đó bằng:

A. 256 B. 8 C. 4 D. 2

Lời giải chi tiết:
\(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{16} = 4\).
Đáp án đúng: C

Câu 11 (Thông hiểu - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Bảng ghép nhóm sau cho biết giá trị đại diện \(x_i\) và tần số \(n_i\):

Giá trị đại diện \(x_i\)	5	15	25
Tần số \(n_i\)	2	5	3

Số trung bình \(\bar{x}\) của mẫu số liệu ghép nhóm là:

A. \(\bar{x} = 15\) B. \(\bar{x} = 16\) C. \(\bar{x} = 17\) D. \(\bar{x} = 18\)

Lời giải chi tiết:
Tổng số phần tử \(n = 2 + 5 + 3 = 10\).
\(\bar{x} = \frac{5 \cdot 2 + 15 \cdot 5 + 25 \cdot 3}{10} = \frac{10 + 75 + 75}{10} = \frac{160}{10} = 16\).
Đáp án đúng: B

Câu 12 (Thông hiểu - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Với mẫu số liệu ở Câu 11 có \(\bar{x} = 16\), công thức tính phương sai \(s^2\) nào sau đây là đúng?

A. \(s^2 = \frac{(5-16) + (15-16) + (25-16)}{10}\) B. \(s^2 = \frac{2(5-16) + 5(15-16) + 3(25-16)}{10}\) C. \(s^2 = \frac{(5-16)^2 + (15-16)^2 + (25-16)^2}{10}\) D. \(s^2 = \frac{2(5-16)^2 + 5(15-16)^2 + 3(25-16)^2}{10}\)

Lời giải chi tiết:
Công thức phương sai: \(s^2 = \frac{1}{n} \sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = \frac{2(5-16)^2 + 5(15-16)^2 + 3(25-16)^2}{10}\).
Đáp án đúng: D

PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Khảo sát thời gian xem tivi trong tuần của một số học sinh thu được bảng ghép nhóm sau:

Thời gian (giờ)	[0; 4)	[4; 8)	[8; 12)	[12; 16)
Số học sinh	5	10	12	3

Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 12 giờ
b	Tổng số học sinh được khảo sát là \(n = 30\)
c	Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là nhóm \([4; 8)\)
d	Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là nhóm \([12; 16)\)

Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: Khoảng biến thiên \(R = 16 - 0 = 16\) giờ.
b) **ĐÚNG**: \(n = 5 + 10 + 12 + 3 = 30\).
c) **ĐÚNG**: Ta có \(\frac{n}{4} = 7.5\). Tần số tích lũy: nhóm 1 có 5; nhóm 2 có 15. Vì \(5 < 7.5 \le 15\) nên nhóm chứa \(Q_1\) là \([4; 8)\).
d) **SAI**: Ta có \(\frac{3n}{4} = 22.5\). Tần số tích lũy nhóm 3 là 27. Vì \(15 < 22.5 \le 27\) nên nhóm chứa \(Q_3\) là \([8; 12)\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S

Câu 2 (Thực tế - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Một công ty đo thời gian phản hồi dịch vụ (phút) của nhân viên cho hai ca làm việc thu được kết quả:
- Ca sáng có khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q^{(1)} = 4.2\) phút.
- Ca chiều có khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q^{(2)} = 8.6\) phút.
Xét tính đúng/sai của các kết luận:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	50% thời gian phản hồi chính giữa của ca sáng ít bị phân tán hơn ca chiều
b	Ca chiều có thời gian phản hồi trung bình nhanh hơn ca sáng
c	Chất lượng dịch vụ thời gian phản hồi của ca sáng đồng đều hơn ca chiều
d	Khoảng biến thiên thời gian của ca chiều chắc chắn gấp đôi ca sáng

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(\Delta_Q^{(1)} = 4.2 < 8.6 = \Delta_Q^{(2)}\) nên 50% số liệu chính giữa ca sáng bớt phân tán hơn.
b) **SAI**: Khoảng tứ phân vị không dùng để so sánh thời gian trung bình.
c) **ĐÚNG**: Độ phân tán nhỏ hơn cho thấy mức độ ổn định/đồng đều của ca sáng cao hơn.
d) **SAI**: Khoảng tứ phân vị không quyết định tỉ lệ của khoảng biến thiên.
Đáp án: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S

Câu 3 (Thông hiểu - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Cho mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi của một lớp học:

Điểm	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Giá trị đại diện \(x_i\)	5	7	9
Số học sinh \(n_i\)	4	12	4

Xét tính đúng/sai của các mệnh đề:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Điểm trung bình của lớp là \(\bar{x} = 7\)
b	Phương sai của mẫu số liệu là \(s^2 = 2.4\)
c	Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là \(s = 1.6\)
d	Nếu mỗi học sinh đều được cộng thêm 1 điểm thì độ lệch chuẩn của mẫu mới không đổi

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(n = 20\); \(\bar{x} = \frac{4(5) + 12(7) + 4(9)}{20} = \frac{20 + 84 + 36}{20} = 7\).
b) **SAI**: \(s^2 = \frac{4(5-7)^2 + 12(7-7)^2 + 4(9-7)^2}{20} = \frac{4(4) + 0 + 4(4)}{20} = \frac{32}{20} = 1.6\).
c) **SAI**: \(s = \sqrt{1.6} \approx 1.265 \ne 1.6\).
d) **ĐÚNG**: Khi cộng tất cả các giá trị thêm một hằng số, độ lệch chuẩn (độ phân tán) của mẫu số liệu không thay đổi.
Đáp án: a-Đ, b-S, c-S, d-Đ

Câu 4 (Thực tế - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Để so sánh độ năng suất của hai giống lúa A và B, nông dân trồng thử nghiệm và thu được kết quả năng suất (tấn/ha):
- Giống A có năng suất trung bình \(\bar{x}_A = 6.5\) tấn/ha và độ lệch chuẩn \(s_A = 0.4\) tấn/ha.
- Giống B có năng suất trung bình \(\bar{x}_B = 6.5\) tấn/ha và độ lệch chuẩn \(s_B = 0.9\) tấn/ha.
Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Giống B có năng suất trung bình cao hơn giống A
b	Giống A có năng suất ổn định hơn giống B
c	Phương sai năng suất của giống B là \(s_B^2 = 1.8\)
d	Độ phân tán năng suất của giống A nhỏ hơn giống B

Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: Cả hai giống có cùng năng suất trung bình 6.5 tấn/ha.
b) **ĐÚNG**: \(s_A = 0.4 < 0.9 = s_B\) nên giống A cho năng suất ổn định hơn.
c) **SAI**: Phương sai giống B là \(s_B^2 = (0.9)^2 = 0.81 \ne 1.8\).
d) **ĐÚNG**: Độ lệch chuẩn giống A nhỏ hơn đồng nghĩa với độ phân tán nhỏ hơn.
Đáp án: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ

PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Khảo sát vận tốc (km/h) của 50 xe ô tô đi qua một trạm kiểm soát cho bảng số liệu ghép nhóm:

Vận tốc (km/h)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)	[70; 80)
Số xe	8	20	15	7

Tính khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Đầu mút dưới của nhóm đầu tiên là \(a_1 = 40\).
Đầu mút trên của nhóm cuối cùng là \(a_5 = 80\).
Khoảng biến thiên \(R = 80 - 40 = 40\).
Kết quả: 40

Câu 2 (Thực tế - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Một cửa hàng ghi lại tuổi thọ (tháng) của một số linh kiện điện tử:

Tuổi thọ (tháng)	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
Số linh kiện	4	10	16	10

Biết tứ phân vị thứ nhất \(Q_1 = 26\) và tứ phân vị thứ ba \(Q_3 = 38.75\). Tính khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 38.75 - 26 = 12.75\).
Kết quả: 12.75 (hoặc 12,75)

Câu 3 (Thực tế - Khoảng biến thiên & Khoảng tứ phân vị): Thời gian chạy 100m (giây) của 40 vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Thời gian (s)	[10; 11)	[11; 12)	[12; 13)	[13; 14)
Số VĐV	6	18	12	4

Tìm đầu mút dưới \(a_2\) của nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Tổng số VĐV \(n = 40 \Rightarrow \frac{3n}{4} = 30\).
Tần số tích lũy: nhóm 1 có 6; nhóm 2 có 24; nhóm 3 có 36.
Vì \(24 < 30 \le 36\) nên nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm thứ ba \([12; 13)\).
Đầu mút dưới của nhóm này là \(12\).
Kết quả: 12

Câu 4 (Thông hiểu - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Khảo sát độ tuổi của công nhân trong một phân xưởng:

Độ tuổi	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50)
Giá trị đại diện \(x_i\)	25	35	45
Số công nhân \(n_i\)	10	20	10

Tính phương sai \(s^2\) của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Tổng số công nhân \(n = 40\).
Số trung bình \(\bar{x} = \frac{10(25) + 20(35) + 10(45)}{40} = \frac{250 + 700 + 450}{40} = 35\).
Phương sai \(s^2 = \frac{10(25-35)^2 + 20(35-35)^2 + 10(45-35)^2}{40} = \frac{10(100) + 0 + 10(100)}{40} = \frac{2000}{40} = 50\).
Kết quả: 50

Câu 5 (Thực tế - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Với mẫu số liệu độ tuổi công nhân ở Câu 4 có phương sai \(s^2 = 50\), tính độ lệch chuẩn \(s\) (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{s^2} = \sqrt{50} \approx 7.071\).
Làm tròn đến hàng phần trăm: **7.07**.
Kết quả: 7.07 (hoặc 7,07)

Câu 6 (Thực tế - Phương sai & Độ lệch chuẩn): Kiểm tra khối lượng (gram) của 100 sản phẩm đóng gói thu được phương sai mẫu ghép nhóm là \(s^2 = 6.25 \text{ g}^2\). Tính độ lệch chuẩn khối lượng của các sản phẩm đó (gam).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt{6.25} = 2.5\) g.
Kết quả: 2.5 (hoặc 2,5)