BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III
(SGK TOÁN 12 - KẾT NỐI TRI THỨC)

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 19 - 14 = 5\) (năm).

Chọn C.

Cỡ mẫu \(n = 20\). Ta có \(\frac{n}{4} = 5\).

Tần số tích lũy của nhóm \([14; 15)\) là \(1\); nhóm \([15; 16)\) là \(1 + 3 = 4 < 5\); nhóm \([16; 17)\) là \(4 + 8 = 12 \ge 5\).

Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là nhóm \([16; 17)\).

Chọn C.

Ta có \(\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 20}{4} = 15\).

Tần số tích lũy của nhóm \([16; 17)\) là \(12 < 15\); nhóm \([17; 18)\) là \(12 + 6 = 18 \ge 15\).

Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là nhóm \([17; 18)\).

Chọn C.

Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) chỉ phụ thuộc vào nửa trung tâm của dữ liệu (từ \(Q_1\) đến \(Q_3\)), nên không sử dụng thông tin từ nhóm số liệu đầu tiên và nhóm số liệu cuối cùng (chứa các giá trị ngoại lệ).

Chọn B.

Khoảng biến thiên \(R = x_{max} - x_{min} = 19 - 14 = 5\) chỉ phụ thuộc vào đầu mút của nhóm đầu tiên và nhóm cuối cùng. Việc thay đổi các tần số trong các nhóm không làm ảnh hưởng tới khoảng biến thiên.

Chọn A.

1. Khoảng biến thiên:

\(R = 7,5 - 5 = 2,5\text{ (giờ)}\).

2. Khoảng tứ phân vị:

Cỡ mẫu \(n = 2 + 8 + 15 + 10 + 5 = 40\).

• \(\frac{n}{4} = 10\). Nhóm chứa \(Q_1\) là \([5,5; 6)\) (vì tần số tích lũy nhóm trước là 2, nhóm này là 10).
  \(Q_1 = 5,5 + \frac{10 - 2}{8} \cdot (6 - 5,5) = 5,5 + 1 \cdot 0,5 = 6,0\).
• \(\frac{3n}{4} = 30\). Nhóm chứa \(Q_3\) là \([6,5; 7)\) (vì tần số tích lũy nhóm \([6; 6,5)\) là 25, nhóm \([6,5; 7)\) là 35).
  \(Q_3 = 6,5 + \frac{30 - 25}{10} \cdot (7 - 6,5) = 6,5 + 0,5 \cdot 0,5 = 6,75\).
• Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 6,75 - 6,0 = 0,75\text{ (giờ)}\).

3. Độ lệch chuẩn:

Giá trị đại diện cho các nhóm là: \(c_1 = 5,25\); \(c_2 = 5,75\); \(c_3 = 6,25\); \(c_4 = 6,75\); \(c_5 = 7,25\).

• Số trung bình:
  \(\bar{x} = \frac{2 \cdot 5,25 + 8 \cdot 5,75 + 15 \cdot 6,25 + 10 \cdot 6,75 + 5 \cdot 7,25}{40} = \frac{254}{40} = 6,35\text{ (giờ)}\).
• Phương sai:
  \(s^2 = \frac{1}{40} \left( 2 \cdot 5,25^2 + 8 \cdot 5,75^2 + 15 \cdot 6,25^2 + 10 \cdot 6,75^2 + 5 \cdot 7,25^2 \right) - 6,35^2 = 0,2775\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s = \sqrt{0,2775} \approx 0,5268\text{ (giờ)}\).

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: \(7,5\); \(12,5\); \(17,5\); \(22,5\); \(27,5\).

a) So sánh tiền lãi trung bình:

• Lĩnh vực A (\(n_A = 25\)):
  \(\bar{x}_A = \frac{2 \cdot 7,5 + 5 \cdot 12,5 + 8 \cdot 17,5 + 6 \cdot 22,5 + 4 \cdot 27,5}{25} = \frac{462,5}{25} = 18,5\text{ (triệu đồng)}\).
• Lĩnh vực B (\(n_B = 25\)):
  \(\bar{x}_B = \frac{8 \cdot 7,5 + 4 \cdot 12,5 + 2 \cdot 17,5 + 5 \cdot 22,5 + 6 \cdot 27,5}{25} = \frac{422,5}{25} = 16,9\text{ (triệu đồng)}\).

Kết luận: Vì \(\bar{x}_A = 18,5 > \bar{x}_B = 16,9\) nên về trung bình, đầu tư vào lĩnh vực A đem lại tiền lãi cao hơn.

b) Tính độ lệch chuẩn và giải thích ý nghĩa:

• Lĩnh vực A:
  \(s_A^2 = \frac{1}{25} \left( 2 \cdot 7,5^2 + 5 \cdot 12,5^2 + 8 \cdot 17,5^2 + 6 \cdot 22,5^2 + 4 \cdot 27,5^2 \right) - 18,5^2 = 36\).
  \(s_A = \sqrt{36} = 6\text{ (triệu đồng)}\).
• Lĩnh vực B:
  \(s_B^2 = \frac{1}{25} \left( 8 \cdot 7,5^2 + 4 \cdot 12,5^2 + 2 \cdot 17,5^2 + 5 \cdot 22,5^2 + 6 \cdot 27,5^2 \right) - 16,9^2 = 58,19\).
  \(s_B = \sqrt{58,19} \approx 7,63\text{ (triệu đồng)}\).

Ý nghĩa: Độ lệch chuẩn đo mức độ rủi ro (độ phân tán) của mức tiền lãi so với trung bình. Vì \(s_A = 6 < s_B \approx 7,63\) nên mức tiền lãi thu được khi đầu tư vào lĩnh vực A ít bị biến động hơn (rủi ro thấp hơn) so với đầu tư vào lĩnh vực B.

a) Các số đặc trưng đo mức độ phân tán:

Cỡ mẫu \(n = 3 + 10 + 6 + 1 = 20\).

1. Khoảng biến thiên: \(R = 180 - 170 = 10\text{ (cm)}\).

2. Khoảng tứ phân vị:

• \(\frac{n}{4} = 5\). Nhóm chứa \(Q_1\) là \([172; 174)\).
  \(Q_1 = 172 + \frac{5 - 3}{10} \cdot (174 - 172) = 172 + 0,2 \cdot 2 = 172,4\text{ (cm)}\).
• \(\frac{3n}{4} = 15\). Nhóm chứa \(Q_3\) là \([174; 176)\).
  \(Q_3 = 174 + \frac{15 - 13}{6} \cdot (176 - 174) = 174 + \frac{2}{6} \cdot 2 \approx 174,67\text{ (cm)}\).
• Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 174,67 - 172,4 = 2,27\text{ (cm)}\).

3. Phương sai và Độ lệch chuẩn:

Lưu ý nhóm cuối \([176; 180)\) có độ dài bằng 4, giá trị đại diện là \(\frac{176+180}{2} = 178\). Các nhóm trước có giá trị đại diện là: \(171\); \(173\); \(175\).

• Số trung bình:
  \(\bar{x} = \frac{3 \cdot 171 + 10 \cdot 173 + 6 \cdot 175 + 1 \cdot 178}{20} = \frac{3471}{20} = 173,55\text{ (cm)}\).
• Phương sai:
  \(s^2 = \frac{1}{20} \left( 3 \cdot 171^2 + 10 \cdot 173^2 + 6 \cdot 175^2 + 1 \cdot 178^2 \right) - 173,55^2 = 3,0475\).
• Độ lệch chuẩn:
  \(s = \sqrt{3,0475} \approx 1,7557\text{ (cm)}\).

b) Ý nghĩa của độ phân tán:

Độ phân tán (đặc biệt là độ lệch chuẩn \(s \approx 1,76\text{ cm}\) và khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = 2,27\text{ cm}\)) phản ánh sự chênh lệch về trình độ giữa các vận động viên. Giá trị này cho thấy mức độ biến động thành tích của các vận động viên quanh mức trung bình \(173,55\text{ cm}\) là không quá lớn, thành tích nhảy cao của các học sinh tham gia khá tương đồng và đồng đều nhau.

Giá trị đại diện cho các nhóm là: \(3,875\); \(3,925\); \(3,975\); \(4,025\).

1. Mẫu số liệu kết quả đo của An (\(n_A = 10\)):

• Số trung bình của An:
  \(\bar{x}_A = \frac{1 \cdot 3,875 + 6 \cdot 3,925 + 2 \cdot 3,975 + 1 \cdot 4,025}{10} = \frac{39,25}{10} = 3,925\text{ (V)}\).
• Phương sai của An:
  \(s_A^2 = \frac{1}{10} \left( 1 \cdot 3,875^2 + 6 \cdot 3,925^2 + 2 \cdot 3,975^2 + 1 \cdot 4,025^2 \right) - 3,925^2 = 0,00125\).
• Độ lệch chuẩn của An:
  \(s_A = \sqrt{0,00125} \approx 0,0354\text{ (V)}\).

2. Mẫu số liệu kết quả đo của Bình (\(n_B = 10\)):

• Số trung bình của Bình:
  \(\bar{x}_B = \frac{1 \cdot 3,875 + 3 \cdot 3,925 + 4 \cdot 3,975 + 2 \cdot 4,025}{10} = \frac{39,6}{10} = 3,96\text{ (V)}\).
• Phương sai của Bình:
  \(s_B^2 = \frac{1}{10} \left( 1 \cdot 3,875^2 + 3 \cdot 3,925^2 + 4 \cdot 3,975^2 + 2 \cdot 4,025^2 \right) - 3,96^2 = 0,002225\).
• Độ lệch chuẩn của Bình:
  \(s_B = \sqrt{0,002225} \approx 0,0472\text{ (V)}\).

Kết luận:

Vì \(s_A \approx 0,0354 < s_B \approx 0,0472\) nên độ lệch chuẩn kết quả đo của An nhỏ hơn của Bình. Do đó, von kế của bạn An cho kết quả đo ổn định hơn.