Câu 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm có dạng các nhóm là \([a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1})\). Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm này được tính bằng công thức nào sau đây?
Giải thích: Theo định nghĩa, khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng (\(a_{k+1}\)) và đầu mút trái của nhóm đầu tiên (\(a_1\)), tức là \(R = a_{k+1} - a_1\).
Câu 2. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tự học (giờ/tuần) của học sinh lớp 12 như sau:
| Thời gian | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) |
|---|
| Số học sinh | 4 | 12 | 18 | 6 |
|---|
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là:
Giải thích: Đầu mút trái của nhóm đầu tiên là \(a_1 = 0\). Đầu mút phải của nhóm cuối cùng là \(a_5 = 20\).
Khoảng biến thiên \(R = 20 - 0 = 20\).
Câu 3. Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định theo công thức nào sau đây?
Giải thích: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \(\Delta_Q\), bằng hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) và tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\), tức là \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\).
Câu 4. Ưu điểm lớn nhất của khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) so với khoảng biến thiên \(R\) trong đo độ đao động (mức độ phân tán) của mẫu số liệu là:
Giải thích: Khoảng biến thiên \(R\) phụ thuộc rất nhiều vào các giá trị cực trị (bất thường). Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) chỉ đo độ phân tán của \(50\%\) số liệu ở chính giữa nên ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ (giá trị ngoại lệ / bất thường).
Câu 5. Cho mẫu số liệu ghép nhóm có tổng số tần số là \(n = 40\). Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) thuộc nhóm chứa giá trị thứ mấy trong mẫu số liệu đã sắp xếp?
Giải thích: Để tìm nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\), ta tìm nhóm chứa giá trị thứ \(\frac{n}{4} = \frac{40}{4} = 10\) trong chuỗi số liệu tăng dần.
Câu 6. Cho bảng số liệu ghép nhóm về chiều cao (cm) của 20 học sinh:
| Chiều cao (cm) | [150; 155) | [155; 160) | [160; 165) | [165; 170) |
|---|
| Số học sinh | 3 | 7 | 6 | 4 |
|---|
Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng:
Giải thích:
Cỡ mẫu \(n = 20 \Rightarrow \frac{n}{4} = 5\).
Tần số tích lũy: Nhóm 1 có 3; Nhóm 2 có \(3 + 7 = 10\). Do đó giá trị thứ 5 nằm ở nhóm 2 \([155; 160)\).
Áp dụng công thức: \(Q_1 = p + \left(\frac{\frac{n}{4} - C}{n_{Q1}}\right) \cdot h\)
Với \(p = 155\), \(C = 3\) (tần số tích lũy nhóm trước), \(n_{Q1} = 7\), độ rộng \(h = 5\).
\(Q_1 = 155 + \left(\frac{5 - 3}{7}\right) \cdot 5 = 155 + \frac{10}{7} \approx 156{,}43\text{ cm}\).
Câu 7
Thực tế. Một cửa hàng thống kê tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của 50 bóng đèn LED thu được kết quả ở bảng sau:
| Tuổi thọ (nghìn giờ) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) |
|---|
| Số bóng đèn | 5 | 12 | 18 | 10 | 5 |
|---|
Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu tuổi thọ bóng đèn là (làm tròn đến hàng phần trăm):
Giải thích:
Cỡ mẫu \(n = 50\). Tần số tích lũy lần lượt là: 5, 17, 35, 45, 50.
• Tìm \(Q_1\): \(\frac{n}{4} = 12{,}5\), rơi vào nhóm 2 \([15; 20)\).
\(Q_1 = 15 + \left(\frac{12{,}5 - 5}{12}\right) \cdot 5 = 15 + \frac{37{,}5}{12} = 18{,}125\).
• Tìm \(Q_3\): \(\frac{3n}{4} = 37{,}5\), rơi vào nhóm 4 \([25; 30)\).
\(Q_3 = 25 + \left(\frac{37{,}5 - 35}{10}\right) \cdot 5 = 25 + \frac{12{,}5}{10} = 26{,}375\).
• Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 26{,}375 - 18{,}125 = 8{,}25\text{ nghìn giờ}\) (Xấp xỉ chọn \(8{,}26\)).
Câu 8. Khẳng định nào sau đây là **sai** khi nói về khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm?
Giải thích: Mẫu số liệu có khoảng tứ phân vị (hoặc khoảng biến thiên) càng lớn thì độ phân tán (độ dao động) của dữ liệu càng cao, nghĩa là các số liệu **càng rải rác**, không tập trung. Phát biểu D khẳng định "càng tập trung" là Sai.
Câu 9. Điểm thi môn Toán của hai lớp 12A và 12B có cùng điểm trung bình nhưng độ lệch khoảng tứ phân vị của lớp 12A là \(\Delta_{Q(A)} = 1{,}2\) và của lớp 12B là \(\Delta_{Q(B)} = 2{,}5\). Kết luận nào sau đây là chính xác nhất?
Giải thích: Độ phân tán (khoảng tứ phân vị) càng nhỏ chứng tỏ dữ liệu càng ít biến động, tức là học lực giữa các học sinh càng ít chênh lệch (đồng đều hơn). Vì \(\Delta_{Q(A)} < \Delta_{Q(B)}\) nên lớp 12A học đều hơn.
Câu 10. Cho bảng tần số ghép nhóm đo độ dài sản phẩm (cm) với tổng số sản phẩm \(n = 100\). Biết tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) thuộc nhóm \([30; 40)\), tần số nhóm này là \(25\), tần số tích lũy của các nhóm trước nhóm này là \(60\). Giá trị của \(Q_3\) là:
Giải thích:
Ta có \(n = 100 \Rightarrow \frac{3n}{4} = 75\).
Nhóm chứa \(Q_3\) là \([30; 40)\) có độ rộng \(h = 40 - 30 = 10\), đầu mút trái \(p = 30\).
Tần số tích lũy lớp trước \(C = 60\), tần số lớp chứa \(Q_3\) là \(n_{Q3} = 25\).
Áp dụng công thức: \(Q_3 = 30 + \left(\frac{75 - 60}{25}\right) \cdot 10 = 30 + \frac{15}{25} \cdot 10 = 30 + 6 = 36\).